Distribuția normală standard în problemele matematice

Distribuția normală standard, care este mai frecvent cunoscută sub numele de curba clopotului, apare într-o varietate de locuri. În mod normal, sunt distribuite mai multe surse de date diferite. Ca urmare a acestui fapt, cunoștințele noastre despre distribuția normală standard pot fi utilizate într-o serie de aplicații. Dar nu trebuie să lucrăm cu o distribuție normală diferită pentru fiecare aplicație. În schimb, lucrăm cu o distribuție normală cu o medie de 0 și o abatere standard de 1. Vom analiza câteva aplicații ale acestei distribuții care sunt toate legate de o anumită problemă.

Exemplu

Să presupunem că ni se spune că înălțimea bărbaților adulți dintr-o anumită regiune a lumii sunt distribuite în mod normal cu o medie de 70 cm și o abatere standard de 2 inci.

1. Aproximativ ce proporție de bărbați adulți sunt mai mari de 73 inci?
2. Ce proporție de bărbați adulți sunt între 72 și 73 inci?
3. Ce înălțime corespunde punctului în care 20% din toți bărbații adulți sunt mai mari decât această înălțime?
4. Ce înălțime corespunde punctului în care 20% din toți bărbații adulți sunt mai mici decât această înălțime?

soluţii

Înainte de a continua, asigurați-vă că vă opriți și treceți peste munca dvs. O explicație detaliată a fiecăreia dintre aceste probleme urmează mai jos:

1. Ne folosim z-formula de scor pentru a converti 73 la un scor standardizat. Aici calculăm (73 - 70) / 2 = 1,5. Așadar, întrebarea devine: pentru ce este aria sub distribuția normală standard z mai mare de 1,5? Consultarea mesei noastre z-scorurile ne arată că 0,933 = 93,3% din distribuția datelor este mai mică decât z = 1,5. Prin urmare, 100% - 93,3% = 6,7% dintre bărbații adulți sunt mai mari de 73 de centimetri.
2. Aici ne transformăm înălțimile într-un standardizat z-scor. Am văzut că 73 are o z scor de 1,5. z-scorul de 72 este (72 - 70) / 2 = 1. Astfel căutăm zona sub distribuția normală pentru 1<z < 1.5. A quick check of the normal distribution table shows that this proportion is 0.933 - 0.841 = 0.092 = 9.2%
3. Aici întrebarea este inversată de la ceea ce am considerat deja. Acum privim în tabelul nostru pentru a găsi un z-scor Z^* care corespunde unei suprafețe de 0,200 mai sus. Pentru utilizare în tabelul nostru, observăm că aici este 0.800. Când privim masa, vedem asta z^* = 0,84. Acum trebuie să convertim acest lucru z-scorul până la înălțime. De la 0,84 = (x - 70) / 2, asta înseamnă că X = 71,68 inci.
4. Putem folosi simetria distribuției normale și ne putem salva problema de a căuta valoarea z^*. In loc de z^* = 0,84, avem -0,84 = (x - 70) / 2. Prin urmare X = 68,32 inci.

Zona regiunii umbrite din stânga z din diagrama de mai sus demonstrează aceste probleme. Aceste ecuații reprezintă probabilități și au numeroase aplicații în statistici și probabilitate.