Aproximarea normală la distribuția binomială

Se știe că variabile aleatorii cu distribuție binomială sunt discrete. Acest lucru înseamnă că există un număr contabil de rezultate care pot apărea într-o distribuție binomială, cu o separare între aceste rezultate. De exemplu, o variabilă binomială poate lua o valoare de trei sau patru, dar nu un număr între trei și patru.

Cu caracterul discret al unei distribuții binomiale, este oarecum surprinzător faptul că o variabilă continuă aleatorie poate fi utilizată pentru a aproxima o distribuție binomială. Pentru multe distribuții binomiale, putem folosi o distribuție normală pentru a ne aproxima probabilitățile binomiale.

Acest lucru poate fi văzut atunci când se uită n aruncări de monede și închiriere X fie numărul capetelor. În această situație, avem o distribuție binomială cu probabilitate de succes p = 0,5. Pe măsură ce creștem numărul de aruncări, vedem că histograma de probabilitate are o asemănare mai mare și mai mare cu o distribuție normală.

Declarația aproximării normale

Fiecare distribuție normală este complet definită prin două numere reale. Aceste numere sunt media, care măsoară centrul distribuției și abaterea standard, care măsoară răspândirea distribuției. Pentru o anumită situație binomială, trebuie să putem determina ce distribuție normală să folosească.

Selectarea distribuției normale corecte este determinată de numărul de încercări n în setarea binomială și probabilitatea constantă de succes p pentru fiecare din aceste încercări. Aproximarea normală pentru variabila noastră binomială este o medie a np și o abatere standard de (np(1 - p)^0.5.

De exemplu, să presupunem că am ghicit la fiecare dintre cele 100 de întrebări ale unui test cu alegere multiplă, unde fiecare întrebare a avut un răspuns corect din patru opțiuni. Numărul de răspunsuri corecte X este o variabilă binomială aleatorie cu n = 100 și p = 0,25. Astfel, această variabilă aleatorie are o medie de 100 (0,25) = 25 și o abatere standard de (100 (0,25) (0,75))^0.5 = 4,33. O distribuție normală cu media 25 și abaterea standard de 4,33 va funcționa pentru aproximarea acestei distribuții binomiale.

Când este apropiată apropierea?

Folosind unele matematici se poate demonstra că există câteva condiții de care trebuie să utilizăm o aproximare normală la distribuția binomială. Numărul de observații n trebuie să fie suficient de mare, iar valoarea de p astfel încât amândoi np și n(1 - p) sunt mai mari sau egale cu 10. Aceasta este o regulă generală, care este ghidată de practica statistică. Aproximarea normală poate fi întotdeauna folosită, dar dacă aceste condiții nu sunt îndeplinite, atunci aproximarea poate să nu fie atât de bună a unei aproximări.

De exemplu, dacă n = 100 și p = 0,25 atunci suntem justificați în utilizarea aproximării normale. Asta pentru ca np = 25 și n(1 - p) = 75. Deoarece ambele numere sunt mai mari de 10, distribuția normală corespunzătoare va face o treabă destul de bună de estimare a probabilităților binomiale.

De ce folosiți aproximația?

Probabilitățile binomiale sunt calculate utilizând o formulă foarte simplă pentru a găsi coeficientul binomial. Din păcate, datorită factorialilor din formulă, poate fi foarte ușor să te confrunți cu dificultăți de calcul cu formula binomială. Apropierea normală ne permite să ocolim oricare dintre aceste probleme, lucrând cu un prieten familiar, un tabel de valori al unei distribuții normale standard.

De multe ori determinarea unei probabilități ca o variabilă aleatorie binomică să se încadreze într-un interval de valori este obositoare de calculat. Acest lucru se datorează faptului că pentru a găsi probabilitatea ca o variabilă binomială X este mai mare de 3 și mai puțin de 10, ar trebui să găsim probabilitatea ca X este egal cu 4, 5, 6, 7, 8 și 9, apoi adăugați toate aceste probabilități împreună. Dacă se poate utiliza aproximarea normală, va trebui în schimb să determinăm scorurile z corespunzătoare la 3 și 10, apoi să utilizăm un tabel de probe de punctaj z pentru distribuția normală standard.