Cinematică bidimensională sau mișcare într-un plan

Acest articol prezintă concepțiile fundamentale necesare pentru a analiza mișcarea obiectelor în două dimensiuni, fără a ține cont de forțele care provoacă accelerația implicată. Un exemplu de acest tip de problemă ar fi aruncarea unei mingi sau împușcarea unei bile de tun. Presupune o familiaritate cu cinematica unidimensională, deoarece extinde aceleași concepte într-un spațiu vectorial bidimensional.

Alegerea coordonatelor

Cinematica implică deplasarea, viteza și accelerația, care sunt toate cantitățile vectoriale care necesită atât o magnitudine cât și o direcție. Prin urmare, pentru a începe o problemă în cinematică bidimensională, trebuie să definiți mai întâi sistemul de coordonate pe care îl utilizați. În general, va fi în termeni de X-axa și a y-axa, orientată astfel încât mișcarea să fie în direcția pozitivă, deși pot exista anumite circumstanțe în care aceasta nu este cea mai bună metodă.

În cazurile în care gravitatea este luată în considerare, se obișnuiește să se facă direcția gravitației în negativ-y direcţie. Aceasta este o convenție care simplifică, în general, problema, deși ar fi posibil să efectuați calculele cu o altă orientare dacă doriți cu adevărat.

Vector de viteză

Vectorul de poziție r este un vector care merge de la originea sistemului de coordonate la un punct dat în sistem. Modificarea poziției (Δr, pronunțat „Delta r") este diferența dintre punctul de pornire (r₁) la punct (r₂). Definim viteza medie (v_av) la fel de:

v_av = (r₂ - r₁) / (T₂ - T₁) = Δr/ ΔT

Luând limita ca ΔT abordări 0, realizăm viteza instantanee v. În termeni de calcul, acesta este derivat al r cu privire la T, sau dr/dt.

Pe măsură ce diferența de timp se reduce, punctele de început și de sfârșit se apropie între ele. De când direcția de r este aceeași direcție ca și v, devine clar că vectorul vitezei instantanee în fiecare punct de-a lungul căii este tangent cu calea.

Componente de viteză

Trăsătura utilă a cantităților vectoriale este aceea că acestea pot fi împărțite în vectorii lor componenți. Derivatul unui vector este suma derivatelor sale componente, prin urmare:

v_X = dx/dt
v_y = dy/dt

Mărimea vectorului vitezei este dată de teorema pitagoreică sub forma:

|v| = v = sqrt (v_X² + v_y²)

Direcția de v este orientat alfa se ridică în sens invers acelor de ceasornic de la X-componentă și poate fi calculată din următoarea ecuație:

bronza alfa = v_y / v_X

Vector de accelerare

Accelerarea este schimbarea vitezei într-o anumită perioadă de timp. Similar analizei de mai sus, descoperim că este Δv/ ΔT. Limita acestui lucru ca ΔT abordări 0 produce derivata din v cu privire la T.

În ceea ce privește componentele, vectorul de accelerație poate fi scris ca:

A_X = DV_X/dt
A_y = DV_y/dt

sau

A_X = d²X/dt²
A_y = d²y/dt²

Mărimea și unghiul (notat ca beta a deosebi de alfa) ale vectorului de accelerație netă sunt calculate cu componente într-o manieră similară cu cele pentru viteză.

Lucrul cu componentele

Frecvent, cinematica bidimensională implică ruperea vectorilor relevanți în X- și y-componente, apoi analizând fiecare componentă ca și cum ar fi cazuri unidimensionale. După ce această analiză este completă, componentele vitezei și / sau accelerației sunt apoi combinate din nou pentru a obține vectori bidimensionali și / sau accelerație rezultați.

Cinematica tridimensională

Ecuațiile de mai sus pot fi extinse pentru mișcare în trei dimensiuni prin adăugarea a z-componentă la analiză. Acest lucru este, în general, destul de intuitiv, deși trebuie să se acorde o anumită atenție asigurării faptului că acesta se face în formatul adecvat, în special în ceea ce privește calcularea unghiului de orientare al vectorului..

Editat de Anne Marie Helmenstine, doctorat.