Estimatori imparțiali și părtinitori

Unul dintre obiectivele statisticilor inferențiale este estimarea parametrilor populației necunoscute. Această estimare se realizează prin construirea unor intervale de încredere din eșantioane statistice. O întrebare devine „Cât de bine avem un estimator?” Cu alte cuvinte, „Cât de precis este procesul nostru statistic, pe termen lung, de estimare a parametrului nostru de populație. O modalitate de a determina valoarea unui estimator este de a lua în considerare dacă este imparțial. Această analiză necesită să găsim valoarea așteptată a statisticii noastre.

Parametri și statistici

Începem prin luarea în considerare a parametrilor și a statisticilor. Considerăm variabile aleatorii dintr-un tip de distribuție cunoscut, dar cu un parametru necunoscut în această distribuție. Acest parametru a făcut parte dintr-o populație sau ar putea face parte dintr-o funcție a densității probabilității. De asemenea, avem o funcție a variabilelor noastre aleatoare, iar aceasta se numește statistică. Statistica (X₁, X₂,… , X_n) estimează parametrul T și, prin urmare, îl numim estimator al T.

Estimatori imparțiali și părtinitori

Acum definim estimatori nepărtinitori și părtinitori. Dorim ca estimatorul nostru să se potrivească cu parametrul nostru, pe termen lung. Într-un limbaj mai precis dorim ca valoarea preconizată a statisticii noastre să fie egală cu parametrul. Dacă acesta este cazul, atunci spunem că statistica noastră este un estimator imparțial al parametrului.

Dacă un estimator nu este un estimator imparțial, atunci este un estimator părtinitor. Deși un estimator părtinitor nu are o aliniere bună a valorii sale așteptate cu parametrul său, există multe cazuri practice când un estimator părtinitor poate fi util. Un astfel de caz este atunci când un plus patru intervale de încredere este utilizat pentru a construi un interval de încredere pentru o proporție de populație.

Exemplu pentru mijloace

Pentru a vedea cum funcționează această idee, vom examina un exemplu care se referă la medie. Statistica

(X₁ + X₂ +... + X_n) / N

este cunoscută sub denumirea medie a eșantionului. Presupunem că variabilele aleatorii sunt un eșantion aleatoriu din aceeași distribuție cu media μ. Aceasta înseamnă că valoarea așteptată a fiecărei variabile aleatorii este μ.

Când calculăm valoarea așteptată a statisticii noastre, vedem următoarele:

E [(X₁ + X₂ +... + X_n) / n] = (E [X₁] + E [X₂] +… + E [X_n]) / n = (nE [X₁]) / n = E [X₁] = μ.

Întrucât valoarea estimată a statisticii se potrivește cu parametrul estimat, aceasta înseamnă că media eșantionului este un estimator nepărtinitor pentru media populației.