Care este funcția gamă?

Funcția gamma este o funcție oarecum complicată. Această funcție este utilizată în statisticile matematice. Poate fi gândit ca o modalitate de generalizare a factorialului. 

Factorialul ca funcție

Învățăm destul de devreme în cariera noastră de matematică că factorialul, definit pentru numere întregi non-negative n, este o modalitate de a descrie înmulțirea repetată. Este notat prin utilizarea unui semn de exclamare. De exemplu:

3! = 3 x 2 x 1 = 6 și 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Singura excepție de la această definiție este zero factorial, unde 0! = 1. Când ne uităm la aceste valori pentru factorial, am putea asocia n cu n!. Acest lucru ne-ar oferi punctele (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), etc. pe.

Dacă complotăm aceste puncte, putem pune câteva întrebări:

• Există o modalitate de a conecta punctele și de a completa graficul pentru mai multe valori?
• Există o funcție care se potrivește factorialului pentru numere întregi non-negative, dar este definită pe un subset mai mare al numerelor reale.

Răspunsul la aceste întrebări este „Funcția gamma”.

Definiția funcției gamă

Definiția funcției gamma este foarte complexă. Implică o formulă complicată, care arată foarte ciudat. Funcția gamma folosește unele calcule în definiția sa, precum și numărul e Spre deosebire de funcțiile mai familiare, cum ar fi polinomii sau funcțiile trigonometrice, funcția gamma este definită ca integrala necorespunzătoare a altei funcții.

Funcția gamma este notată cu o majusculă gamma din alfabetul grecesc. Acesta arată în felul următor: Γ ( z )

Caracteristici ale funcției Gamma

Definiția funcției gamma poate fi utilizată pentru a demonstra o serie de identități. Una dintre cele mai importante dintre acestea este că Γ ( z + 1) = z Γ ( z ). Putem folosi acest lucru și faptul că Γ (1) = 1 din calculul direct:

Γ ( n ) = (n - 1) Γ ( n - 1) = (n - 1) (n - 2) Γ ( n - 2) = (n - 1)!

Formula de mai sus stabilește conexiunea dintre funcționalul factorial și gama. De asemenea, ne oferă un alt motiv pentru care are sens să definim valoarea factorial zero pentru a fi egală cu 1.

Dar nu trebuie să introducem doar numere întregi în funcția gamma. Orice număr complex care nu este un număr întreg negativ se află în domeniul funcției gamma. Aceasta înseamnă că putem extinde factorialul la alte numere decât numere întregi negative. Dintre aceste valori, unul dintre cele mai cunoscute (și surprinzătoare) rezultate este că Γ (1/2) = √π.

Un alt rezultat care este similar cu ultimul este că Γ (1/2) = -2π. Într-adevăr, funcția gamma produce întotdeauna o ieșire a unui multiplu din rădăcina pătrată a pi atunci când un multiplu impar de 1/2 este introdus în funcție.

Utilizarea funcției Gamma

Funcția gamma apare în multe domenii, aparent nelegate, de matematică. În special, generalizarea factorialului oferit de funcția gamma este utilă în unele probleme de combinație și probabilitate. Unele distribuții de probabilitate sunt definite direct în funcție de funcția gamma. De exemplu, distribuția gama este declarată în termenii funcției gamma. Această distribuție poate fi utilizată pentru modelarea intervalului de timp dintre cutremure. Distribuția t a elevilor, care poate fi folosită pentru datele în care avem o abatere standard a populației necunoscute, iar distribuția chi-pătrat sunt definite și în funcție de funcția gamma.