Ce este setul de putere?

O întrebare din teoria seturilor este dacă un set este un subset al altui set. Un subset de A este un set care se formează folosind unele dintre elementele din set A. In asa fel incat B a fi un subset de A, fiecare element al B trebuie să fie și un element al A.

Fiecare set are mai multe subseturi. Uneori este de dorit să cunoaștem toate subseturile care sunt posibile. O construcție cunoscută sub numele de putere ajută în acest demers. Setul de putere al setului A este un set cu elemente care sunt și seturi. Acest set de putere format prin includerea tuturor subseturilor unui set dat A.

Exemplul 1

Vom lua în considerare două exemple de seturi de putere. Pentru primul, dacă începem cu setul A = 1, 2, 3, atunci care este setul de putere? Continuăm listând toate subseturile din A.

• Setul gol este un subset de A. Într-adevăr, setul gol este un subset al fiecărui set. Acesta este singurul subset sub care nu există elemente A.
• Seturile 1, 2, 3 sunt singurele subseturi ale A cu un element.
• Seturile 1, 2, 1, 3, 2, 3 sunt singurele subseturi ale A cu două elemente.
• Fiecare set este un subset de sine. Prin urmare A = 1, 2, 3 este un subset de A. Acesta este singurul subset cu trei elemente.

A A A

Exemplul 2

Pentru al doilea exemplu, vom lua în considerare setul de putere al B = 1, 2, 3, 4. O mare parte din ceea ce am spus mai sus este similar, dacă nu este identic acum:

• Setul gol și B sunt ambele subseturi.
• Întrucât există patru elemente ale B, există patru subseturi cu un singur element: 1, 2, 3, 4.
• Deoarece fiecare subset de trei elemente poate fi format prin eliminarea unui element din B și există patru elemente, există patru astfel de subseturi: 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4.
• Rămâne să determinați subseturile cu două elemente. Formăm un subset de două elemente alese dintr-un set de 4. Aceasta este o combinație și există C (4, 2) = 6 dintre aceste combinații. Subseturile sunt: ​​1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 3, 4.

B B

Notaţie

Există două moduri în care setul de putere al unui set A se notează. O modalitate de a denota acest lucru este folosirea simbolului P( A), unde uneori această scrisoare P este scris cu un script stilizat. O altă notare pentru setul de putere al A este 2^A. Această notare este utilizată pentru a conecta setul de putere la numărul de elemente din setul de alimentare.

Dimensiunea setului de alimentare

Vom examina în continuare această notație. Dacă A este un set finit cu n elemente, apoi setul său de putere P (A ) va avea 2ⁿ elemente. Dacă lucrăm cu un set infinit, atunci nu este util să ne gândim la 2ⁿ elemente. Cu toate acestea, o teoremă a lui Cantor ne spune că cardinalitatea unui set și setul său de putere nu pot fi aceleași.

A fost o întrebare deschisă în matematică dacă cardinalitatea setului de putere al unui set infinit se potrivește cu cardinalitatea realelor. Rezoluția acestei întrebări este destul de tehnică, dar spune că putem alege să facem această identificare a cardinalităților sau nu. Ambele duc la o teorie matematică consecventă.

Seturi de putere cu probabilitate

Subiectul probabilității se bazează pe teoria seturilor. În loc să ne referim la seturi și subseturi universale, vorbim în schimb despre spații și evenimente. Uneori, atunci când lucrăm cu un spațiu de probă, dorim să determinăm evenimentele din spațiul respectiv. Setul de putere al spațiului de probă pe care îl avem ne va oferi toate evenimentele posibile.