Proprietățile matematice ale valurilor

Valuri fizice sau unde mecanice, se formează prin vibrația unui mediu, fie că este un șir, scoarța terestră sau particule de gaze și fluide. Undele au proprietăți matematice care pot fi analizate pentru a înțelege mișcarea undei. Acest articol introduce aceste proprietăți generale ale undelor, mai degrabă decât cum să le aplici în situații specifice în fizică.

Undele transversale și longitudinale

Există două tipuri de unde mecanice.

A este astfel încât deplasările mediului să fie perpendiculare (transversale) pe direcția de deplasare a undei de-a lungul mediului. Vibrarea unei șiruri în mișcare periodică, astfel încât undele se mișcă de-a lungul ei, este o undă transversală, la fel și undele din ocean.

A val longitudinal este astfel încât deplasările mediului să fie înainte și înapoi pe aceeași direcție ca valul în sine. Undele sonore, în care particulele de aer sunt împinse de-a lungul direcției de deplasare, este un exemplu de undă longitudinală.

Chiar dacă undele discutate în acest articol se vor referi la călătorii într-un mediu, matematica introdusă aici poate fi folosită pentru a analiza proprietățile undelor nemecanice. Radiația electromagnetică, de exemplu, este capabilă să călătorească prin spațiul gol, dar totuși, are aceleași proprietăți matematice ca și alte unde. De exemplu, efectul Doppler pentru undele sonore este binecunoscut, dar există un efect Doppler similar pentru undele de lumină și acestea se bazează în jurul acelorași principii matematice.

Ce cauzează valurile?

1. Valurile pot fi privite ca o perturbare în mediu în jurul unei stări de echilibru, care este în general în repaus. Energia acestei perturbări este cea care determină mișcarea undei. Un bazin de apă este în echilibru atunci când nu există valuri, dar imediat ce o piatră este aruncată în ea, echilibrul particulelor este perturbat și mișcarea undei începe.
2. Deranjul valului se deplasează sau propogates, cu o viteză certă, numită viteza undelor (v).
3. Valurile transportă energie, dar nu contează. Mediul în sine nu călătorește; particulele individuale sunt supuse înapoi și înapoi sau în sus și în jos în jurul poziției de echilibru.

Funcția Wave

Pentru a descrie matematic mișcarea de undă, ne referim la conceptul de a funcția de undă, care descrie în orice moment poziția unei particule în mediu. Cea mai de bază dintre funcțiile de undă este unda sinusoidală sau unda sinusoidală, care este a valul periodic (adică o undă cu mișcare repetitivă).

Este important de menționat că funcția de undă nu prezintă unda fizică, ci mai degrabă este un grafic al deplasării cu privire la poziția de echilibru. Acesta poate fi un concept confuz, dar utilul este că putem folosi o undă sinusoidală pentru a descoperi cele mai multe mișcări periodice, cum ar fi deplasarea în cerc sau balansarea unui pendul, care nu arată neapărat ca unda atunci când vizualizați realitatea mişcare.

Proprietățile funcției Wave

• viteza undelor (v) - viteza de propagare a undei
• amplitudine (A) - magnitudinea maximă a deplasării din echilibru, în unități de metri SI. În general, este distanța de la punctul mediu de echilibru al undei până la deplasarea maximă a acesteia, sau este jumătate din deplasarea totală a undei.
• perioadă (T) - este timpul pentru un ciclu de undă (două impulsuri, sau de la creastă la creastă sau jgheab până la jgheab), în unități SI de secunde (deși poate fi denumit „secunde pe ciclu”).
• frecvență (f) - numărul de cicluri într-o unitate de timp. Unitatea SI de frecvență este hertzul (Hz) și

  1 Hz = 1 ciclu / s = 1 s^-1

• frecvența unghiulară (ω) - este 2π de ori frecvența, în unități SI de radiani pe secundă.
• lungime de undă (λ) - distanța dintre oricare două puncte la pozițiile corespunzătoare pe repetări succesive în val, deci (de exemplu) de la o creastă sau jgheab la următoarea, în unități SI de metri. 
• numărul valului (k) - numit și constantă de propagare, această cantitate utilă este definită drept 2 π împărțit la lungimea de undă, deci unitățile SI sunt radiante pe metru.
• puls - o jumătate de lungime de undă, de la echilibru înapoi

Unele ecuații utile în definirea cantităților de mai sus sunt:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / f = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

Poziția verticală a unui punct pe undă, y, poate fi găsit ca funcție a poziției orizontale, X, și timpul, T, când îl privim. Mulțumim matematicienilor amabili că au făcut această lucrare pentru noi și obținem următoarele ecuații utile pentru a descrie mișcarea de undă:

y(x, t) = A păcat ω(T - X/v) = A păcat 2π f(T - X/v)

y(x, t) = A păcat 2π(T/T - X/v)

y (x, t) = A păcatω t - kx)

Ecuația valurilor

O caracteristică finală a funcției de undă este aceea că aplicarea calculului pentru a lua cea de-a doua derivă produce ecuația valurilor, ceea ce este un produs intrigant și uneori util (care, încă o dată, îi vom mulțumi pe matematicieni pentru și acceptăm fără să-l dovedim):