Ce este distribuția Cauchy?

O distribuție a unei variabile aleatorii este importantă nu pentru aplicațiile sale, ci pentru ceea ce ne spune despre definițiile noastre. Distribuția Cauchy este un astfel de exemplu, uneori denumit un exemplu patologic. Motivul pentru aceasta este că, deși această distribuție este bine definită și are o legătură cu un fenomen fizic, distribuția nu are o medie sau o variație. Într-adevăr, această variabilă aleatoare nu are o funcție generatoare de moment.

Definiția Cauchy Distribution

Definim distribuția Cauchy luând în considerare un spinner, cum ar fi tipul unui joc de masă. Centrul acestui filator va fi ancorat pe y axa în punctul (0, 1). După rotirea filetului, vom extinde segmentul de linie al filetului până când traversează axa x. Aceasta va fi definită ca variabila noastră aleatoare X.

Vom lăsa să notăm cea mai mică dintre cele două unghiuri pe care filonul o face cu y axă. Presupunem că acest filator este la fel de probabil să formeze orice unghi ca altul, și astfel W are o distribuție uniformă care variază de la -π / 2 la π / 2.

Trigonometria de bază ne oferă o conexiune între cele două variabile aleatorii:

X = bronzaW.

Funcția de distribuție cumulativă a X este derivat după cum urmează:

H(X) = P(X < X) = P(bronza W < X) = P(W < arctanX)

Folosim apoi faptul că W este uniformă, iar acest lucru ne dă:

H(X) = 0,5 + (arctan X) / Π

Pentru a obține funcția de densitate de probabilitate diferențiem funcția de densitate cumulativă. Rezultatul este h(x) = 1/ [π (1 + X²)]]

Caracteristici ale distribuției Cauchy

Ceea ce face ca distribuția Cauchy să fie interesantă este faptul că, deși am definit-o folosind sistemul fizic al unui spinner aleator, o variabilă aleatoare cu o distribuție Cauchy nu are o funcție de generare medie, variație sau moment. Nu există toate momentele despre originea care sunt utilizate pentru a defini acești parametri.

Începem prin a considera media. Media este definită ca valoarea așteptată a variabilei noastre aleatoare și deci E [X] = ∫_-∞^∞X / [π (1 + X²)] dX.

Ne integrăm folosind substituția. Dacă stabilim u = 1 +X² atunci vedem că du = 2X dX. După efectuarea substituției, integrala improprie rezultată nu converg. Aceasta înseamnă că valoarea scontată nu există și că media este nedefinită.

În mod similar, funcția de generare a variației și momentului nu este definită.

Denumirea distribuției Cauchy

Distribuția Cauchy este numită pentru matematicianul francez Augustin-Louis Cauchy (1789 - 1857). În ciuda faptului că această distribuție a fost numită pentru Cauchy, informațiile referitoare la distribuție au fost publicate pentru prima dată de Poisson.