Care este diferența a două seturi în teoria seturilor?

Diferența a două seturi, scrisă A - B este ansamblul tuturor elementelor din A care nu sunt elemente ale B. Operația de diferență, împreună cu uniunea și intersecția, este o operație importantă și fundamentală a teoriei de seturi.

Descrierea diferenței

Scăderea unui număr de la altul poate fi gândită în mai multe moduri diferite. Un model care să ajute la înțelegerea acestui concept este denumit model de scădere. În acest sens, problema 5 - 2 = 3 ar fi demonstrată începând cu cinci obiecte, îndepărtând două dintre ele și socotind că au rămas trei. Într-un mod similar cu care găsim diferența dintre două numere, putem găsi diferența a două seturi.

Un exemplu

Vom analiza un exemplu al diferenței stabilite. Pentru a vedea cum diferența dintre două seturi formează un set nou, să luăm în considerare seturile A = 1, 2, 3, 4, 5 și B = 3, 4, 5, 6, 7, 8. Pentru a găsi diferența A - B dintre aceste două seturi, începem prin scrierea tuturor elementelor din A, apoi scoateți fiecare element din A acesta este și un element al B. De cand A împărtășește elementele 3, 4 și 5 cu B, acest lucru ne oferă diferența stabilită A - B = 1, 2.

Comanda este importantă

La fel cum diferențele 4 - 7 și 7 - 4 ne oferă răspunsuri diferite, trebuie să fim atenți la ordinea în care calculăm diferența setată. Pentru a utiliza un termen tehnic din matematică, am spune că operațiunea setată a diferenței nu este comutativă. Ceea ce înseamnă asta este că, în general, nu putem schimba ordinea diferenței dintre două seturi și așteptăm același rezultat. Putem afirma mai precis asta pentru toate seturile A și B, A - B nu este egal cu B - A.

Pentru a vedea acest lucru, consultați exemplul de mai sus. Am calculat asta pentru seturi A = 1, 2, 3, 4, 5 și B = 3, 4, 5, 6, 7, 8, diferența A - B = 1, 2. Pentru a compara acest lucru cu B - A, începem cu elementele din B, care sunt 3, 4, 5, 6, 7, 8 și apoi eliminați 3, 4 și 5 deoarece acestea sunt în comun cu A. Rezultatul este B - A = 6, 7, 8. Acest exemplu ne arată clar că A - B nu este egal cu B - A.

Complementul

O singură diferență este suficient de importantă pentru a-și justifica propriul nume și simbol special. Acesta se numește complement și este folosit pentru diferența de set când primul set este setul universal. Complementul de A este dată de expresia U - A. Aceasta se referă la ansamblul tuturor elementelor din setul universal care nu sunt elemente ale A. Întrucât se înțelege că setul de elemente din care putem alege este preluat din setul universal, putem spune pur și simplu că complementul A este ansamblul format din elemente care nu sunt elemente ale A.

Complementul unui set este relativ la setul universal cu care lucrăm. Cu A = 1, 2, 3 și U = 1, 2, 3, 4, 5, complementul A este 4, 5. Dacă setul nostru universal este diferit, spuneți U = -3, -2, 0, 1, 2, 3, apoi complementul de A -3, -2, -1, 0. Asigurați-vă întotdeauna atenție la setul universal folosit.

Notare pentru completare

Cuvântul „complement” începe cu litera C, astfel încât acesta este folosit în notație. Complementul setului A este scris ca A^C. Deci, putem exprima definiția complementului în simboluri ca: A^C = U - A.

Un alt mod care este utilizat în mod obișnuit pentru a denumi complementul unui set implică un apostrof și este scris ca A'.

Alte identități care implică diferența și complementele

Există multe identități de set care implică utilizarea operațiunilor de diferență și complement. Unele identități combină alte operațiuni setate, cum ar fi intersecția și unirea. Câteva dintre cele mai importante sunt menționate mai jos. Pentru toate seturile A, și B și D noi avem:

• A - A = ∅
• A - ∅ = A
• ∅ - A = ∅
• A - U = ∅
• (A^C)^C = A
• Legea lui DeMorgan I: (A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C
• Legea II a lui DeMorgan: (A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C