Calcularea coeficientului de corelație

Există multe întrebări de pus atunci când priviți un scatterplot. Una dintre cele mai frecvente este cât de bine se apropie o linie dreaptă a datelor? Pentru a răspunde la aceasta, există o statistică descriptivă numită coeficientul de corelație. Vom vedea cum se calculează această statistică.

Coeficientul de corelare

Coeficientul de corelație, notat cu r ne spune cât de îndeaproape datele dintr-o diagramă de dispersie cad de-a lungul unei linii drepte. Cu cât este mai aproape de valoarea absolută a r este cu atât mai bine cu cât datele sunt descrise printr-o ecuație liniară. Dacă r = 1 sau r = -1 atunci setul de date este perfect aliniat. Seturi de date cu valori ale r aproape de zero arată o relație de linie mică sau nicio linie.

Datorită calculelor îndelungate, cel mai bine este să calculăm r cu utilizarea unui calculator sau a unui software statistic. Cu toate acestea, este întotdeauna un efort demn de a ști ce face calculatorul dvs. atunci când calculează. Ceea ce urmează este un proces de calcul al coeficientului de corelație în principal de mână, cu un calculator utilizat pentru etapele de aritmetică de rutină.

Pași pentru calcul r

Vom începe prin enumerarea etapelor pentru calculul coeficientului de corelație. Datele cu care lucrăm sunt date în pereche, fiecare pereche fiind notată de (X_eu,y_eu).

1. Începem cu câteva calcule preliminare. Cantitățile din aceste calcule vor fi utilizate în etapele ulterioare ale calculului nostru r:
   1. Calculați x̄, media tuturor primelor coordonate ale datelor X_eu.
   2. Calculați ȳ, media tuturor coordonatelor a doua a datelor y_eu.
   3. calculati s _X eșantionul deviație standard a tuturor primelor coordonate ale datelor X_eu.
   4. calculati s _y eșantionul deviație standard a tuturor a doua coordonate a datelor y_eu.
2. Folosiți formula (z_X)_eu = (X_eu - X) / s _X și calculați o valoare standardizată pentru fiecare X_eu.
3. Folosiți formula (z_y)_eu = (y_eu - ȳ) / s _y și calculați o valoare standardizată pentru fiecare y_eu.
4. Înmulțiți valorile standardizate corespunzătoare: (z_X)_eu(z_y)_eu
5. Adăugați produsele din ultimul pas împreună.
6. Împărțiți suma de la pasul anterior n - 1, unde n reprezintă numărul total de puncte din setul nostru de date în pereche. Rezultatul tuturor este coeficientul de corelație r.

Acest proces nu este greu și fiecare etapă este destul de rutină, dar colectarea tuturor acestor pași este destul de implicată. Calculul abaterii standard este suficient de obositor. Dar calculul coeficientului de corelație implică nu numai două abateri standard, ci o multitudine de alte operațiuni.

Un exemplu

Pentru a vedea exact cum este valoarea de r este obținut ne uităm la un exemplu. Din nou, este important de menționat că pentru aplicații practice am dori să folosim calculatorul sau software-ul statistic pentru a calcula r pentru noi.

Începem cu o listă a datelor în pereche: (1, 1), (2, 3), (4, 5), (5,7). Media de X valori, media de 1, 2, 4 și 5 este x̄ = 3. Avem, de asemenea, că ȳ = 4. Abaterea standard a X valorile este s_X = 1,83 și s_y = 2,58. Tabelul de mai jos rezumă celelalte calcule necesare r. Suma produselor din cea mai dreaptă coloană este 2.969848. Deoarece există un total de patru puncte și 4 - 1 = 3, împărțim suma produselor la 3. Acest lucru ne oferă un coeficient de corelație de r = 2.969848 / 3 = 0.989949.

Tabel pentru exemplu de calcul al coeficientului de corelație

X	y	zX	zy	zXzy
1	1	-1.09544503	-1.161894958	1.272792057
2	3	-0.547722515	-0.387298319	0.212132009
4	5	0.547722515	0.387298319	0.212132009
5	7	1.09544503	1.161894958	1.272792057