Date despre numărul e 2.7182818284590452 ...

Dacă ați întreba pe cineva să îi numească constanta matematică preferată, probabil că veți obține niște aspecte chizice. După un timp, cineva poate face voluntar că cea mai bună constantă este pi. Dar aceasta nu este singura constantă matematică importantă. O secundă apropiată, dacă nu pretendentă pentru coroana celei mai omniprezente constante este e. Acest număr apare în calcul, teoria numerelor, probabilitatea și statisticile. Vom examina unele dintre caracteristicile acestui număr remarcabil și vom vedea ce conexiuni are cu statisticile și probabilitatea.

Valoarea e

Ca pi, e este un număr real irațional. Aceasta înseamnă că nu poate fi scrisă ca o fracție și că expansiunea sa zecimală continuă pentru totdeauna, fără un bloc de numere care se repetă continuu. Numarul e este, de asemenea, transcendental, ceea ce înseamnă că nu este rădăcina unui polinom non-zero cu coeficienți raționali. Primele cincizeci de zecimale ale sunt date de e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.

Definitia e

Numarul e a fost descoperit de oameni care erau curioși de interesul compus. În această formă de interes, principalul câștigă dobândă și apoi dobânda generată câștigă interes pentru sine. S-a observat că, cu cât este mai mare frecvența perioadelor de compunere pe an, cu atât este mai mare cantitatea de interes generată. De exemplu, am putea privi cum interesul este compus:

• Anual, sau o dată pe an
• Semianal, sau de două ori pe an
• Lunar, sau de 12 ori pe an
• Zilnic, sau de 365 de ori pe an

Suma totală a dobânzii crește pentru fiecare dintre aceste cazuri.

A apărut o întrebare cu privire la câți bani ar putea fi câștigați în dobândă. Pentru a încerca să câștigăm și mai mulți bani, am putea, teoretic, să creștem numărul perioadelor de compunere la un număr atât de mare cât ne-am dorit. Rezultatul final al acestei creșteri este acela că am considera că interesul se mărește continuu.

În timp ce interesul generat crește, acesta face acest lucru foarte lent. Suma totală de bani din cont se stabilizează, iar valoarea la care se stabilizează este e. Pentru a exprima acest lucru folosind o formulă matematică spunem că limita ca n creșteri de (1 + 1 /n)ⁿ = e.

Utilizări ale e

Numarul e apare de-a lungul matematicii. Iată câteva dintre locurile în care își face apariția:

• Este baza logaritmului natural. De când Napier a inventat logaritmele, e este uneori denumită constantă a lui Napier.
• În calcul, funcția exponențială e^X are proprietatea unică de a fi propriul său derivat.
• Expresii care implică e^X și e^-X se combină pentru a forma sinusul hiperbolic și funcțiile cosinului hiperbolic.
• Datorită lucrărilor lui Euler, știm că constantele fundamentale ale matematicii sunt interrelaționate de formulă e^iΠ +1 = 0, unde eu este numărul imaginar care este rădăcina pătrată a unuia negativ.
• Numarul e apare în diferite formule de-a lungul matematicii, în special în domeniul teoriei numerelor.

Valoarea e în Statistici

Importanța numărului e nu se limitează la doar câteva domenii ale matematicii. Există, de asemenea, mai multe utilizări ale numărului e în statistici și probabilitate. Câteva dintre acestea sunt următoarele:

• Numarul e face o apariție în formula pentru funcția gamma.
• Formulele de distribuție normală implică e la o putere negativă. Această formulă include, de asemenea, pi.
• Multe alte distribuții implică utilizarea numărului e. De exemplu, formulele pentru distribuția t, distribuția gamma și distribuția chi-pătrat conțin toate numărul e.