Cum să derivăm formula pentru combinații

După ce a văzut formule tipărite într-un manual sau scrise pe tablă de către un profesor, este uneori surprinzător să afli că multe dintre aceste formule pot fi derivate din unele definiții fundamentale și o gândire atentă. Acest lucru este valabil în special în probabilitate atunci când examinăm formula pentru combinații. Derivarea acestei formule se bazează într-adevăr pe principiul înmulțirii.

Principiul înmulțirii

Să presupunem că există o sarcină de făcut și această sarcină este împărțită în total în doi pași. Primul pas poate fi făcut în k căi și al doilea pas pot fi efectuate n moduri. Aceasta înseamnă că, după înmulțirea acestor numere, numărul de moduri de a efectua sarcina este nk.

De exemplu, dacă aveți zece tipuri de înghețată din care să alegeți și trei toppinguri diferite, câte cântări, o singură plată puteți face? Înmulțiți trei cu 10 pentru a obține 30 de sundae.

Formarea permisiunilor

Acum, utilizați principiul de multiplicare pentru a obține formula pentru numărul de combinații r elemente preluate dintr-un set de n elemente. Lăsa P (n, r) indică numărul de permutări din r elemente dintr-un set de n și C (n, r) se indică numărul de combinații de r elemente dintr-un set de n element.

Gândiți-vă la ce se întâmplă atunci când formați o permutare r elemente dintr-un total de n. Privește acest lucru ca un proces în doi pași. Mai întâi, alegeți un set de r elemente dintr-un set de n. Aceasta este o combinație și există C(n, r) modalități de a face acest lucru. Al doilea pas în proces este de a comanda r elemente cu r alegeri pentru primul, r - 1 alegeri pentru a doua, r - 2 pentru a treia, 2 alegeri pentru penultim și 1 pentru ultima. După principiul înmulțirii, există r X (r -1) x ... x 2 x 1 = r! modalități de a face acest lucru. Această formulă este scrisă cu notație factorială.

Derivarea formulei

A recapitula, P(n,r ), numărul de moduri de a forma o permutare a r elemente dintr-un total de n este determinat de:

1. Formarea unei combinații de r elemente dintr-un total de n în oricare dintre C(n,r ) moduri
2. Comandarea acestora r elemente oricare dintre r! moduri.

După principiul înmulțirii, numărul de moduri de a forma o permutare este P(n,r ) = C(n,r ) X r!.

Folosind formula pentru permutări P(n,r ) = n!/ (n - r) !, care poate fi înlocuită în formula de mai sus:

n!/ (n - r)! = C(n,r ) r!.

Acum rezolvați acest lucru, numărul de combinații, C(n,r ) și vedeți asta C(n,r ) = n!/ [r!(n - r)!].

După cum s-a demonstrat, un pic de gândire și algebră pot merge mult. Alte formule cu probabilitate și statistici pot fi, de asemenea, derivate cu unele aplicații atente ale definițiilor.