Diferența dintre combinații și permutări

De-a lungul matematicii și statisticilor, trebuie să știm să numărăm. Acest lucru este valabil în special pentru unele probleme de probabilitate. Să presupunem că ni se oferă un total de n obiecte distincte și doresc să selecteze r dintre ei. Aceasta atinge direct o zonă de matematică cunoscută sub numele de combinatorie, care este studiul numărarii. Două dintre principalele moduri de a număra acestea r obiecte din n elementele se numesc permutări și combinații. Aceste concepte sunt strâns legate între ele și se confundă ușor.

Care este diferența dintre o combinație și permutare? Ideea cheie este aceea a ordinii. O permutare acordă atenție ordinii în care ne selectăm obiectele. Același set de obiecte, dar luate într-o ordine diferită, ne va permite permutări diferite. Cu o combinație, tot selectăm r obiecte dintr-un total de n, dar ordinea nu mai este luată în considerare.

Un exemplu de permutări

Pentru a distinge aceste idei, vom lua în considerare următorul exemplu: câte permutări există din două litere din set a, b, c?

Aici enumerăm toate perechile de elemente din setul dat, acordând atenție în același timp comenzii. Există un număr total de șase permutări. Lista tuturor acestora este: ab, ba, bc, cb, ac și ca. Rețineți că, ca permutații ab și ba sunt diferite deoarece într-un caz A a fost ales primul, iar în celălalt A a fost ales a doua.

Un exemplu de combinații

Acum vom răspunde la următoarea întrebare: câte combinații există de două litere din set a, b, c?

Deoarece avem de-a face cu combinații, nu ne mai pasă de comandă. Putem rezolva această problemă uitându-ne înapoi la permutații și apoi eliminându-le pe cele care includ aceleași litere. Ca combinații, ab și ba sunt considerate la fel. Astfel, există doar trei combinații: ab, ac și bc.

Formulele

Pentru situațiile pe care le întâlnim cu seturi mai mari, este nevoie de prea mult timp pentru a enumera toate permutările sau combinațiile posibile și a număra rezultatul final. Din fericire, există formule care ne oferă numărul de permutări sau combinații de n obiecte luate r la un moment dat.

În aceste formule, folosim notația scurtă a n! denumit n factorial. Factorialul spune pur și simplu că înmulțiți toate numerele întregi pozitive mai mici sau egale cu n împreună. Deci, de exemplu, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Prin definiția 0! = 1.

Numărul de permutări din n obiecte luate r la un moment dat este dată de formula:

P(n,r) = n!/ (n - r)!

Numărul de combinații de n obiecte luate r la un moment dat este dată de formula:

C(n,r) = n!/ [r!(n - r)!]

Formule la locul de muncă

Pentru a vedea formulele în lucru, să ne uităm la exemplul inițial. Numărul de permutări ale unui set de trei obiecte luate două la un moment dat este dat de P(3,2) = 3! / (3 - 2)! = 6/1 = 6. Aceasta se potrivește exact cu ceea ce am obținut prin enumerarea tuturor permutațiilor.

Numărul de combinații dintr-un set de trei obiecte luate două simultan este dat de:

C(3,2) = 3! / [2! (3-2)!] = 6/2 = 3. Din nou, aceasta se aliniază exact cu ceea ce am văzut înainte.

Formulele cu siguranță economisesc timp atunci când ni se solicită să găsim numărul de permutări ale unui set mai mare. De exemplu, câte permutări există a unui set de zece obiecte luate trei simultan? Ar fi nevoie de un timp pentru a enumera toate permutiile, dar cu formulele, vedem că ar exista:

P(10,3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutări.

Ideea principala

Care este diferența dintre permutări și combinații? Concluzia este că, în numărarea situațiilor care implică o comandă, ar trebui utilizate permutări. Dacă comanda nu este importantă, atunci trebuie utilizate combinații.