Funcția de generare a momentului unei variabile aleatorii

Un mod de a calcula media și variația unei distribuții a probabilităților este de a găsi valorile așteptate ale variabilelor aleatorii X și X². Folosim notația E(X) și E(X²) pentru a indica aceste valori așteptate. În general, este dificil de calculat E(X) și E(X²) direct. Pentru a evita această dificultate, folosim câteva teorii și calcule matematice mai avansate. Rezultatul final este ceva care ne ușurează calculele.

Strategia acestei probleme este definirea unei noi funcții, a unei noi variabile T care se numește funcția de generare a momentului. Această funcție ne permite să calculăm momentele luând pur și simplu instrumente derivate.

Ipoteze

Înainte de a defini funcția de generare a momentului, începem prin stabilirea etapei cu notare și definiții. Noi lăsăm X să fie o variabilă discretă aleatorie. Această variabilă aleatoare are funcția de masă de probabilitate f(X). Spațiul de probă cu care lucrăm va fi notat S.

În loc să se calculeze valoarea așteptată de X, dorim să calculăm valoarea așteptată a unei funcții exponențiale legate de X. Dacă există un număr real pozitiv r astfel încât E(e^tX) există și este finit pentru toți T în intervalul [-r, r], atunci putem defini funcția de generare a momentului X.

Definiție

Funcția generatoare de moment este valoarea așteptată a funcției exponențiale de mai sus. Cu alte cuvinte, spunem că funcția generatoare de moment a X este dat de:

M(T) = E(e^tX)

Această valoare preconizată este formula Σ e^tx f (X), unde rezumarea este preluată de toate X în spațiul de probă S. Aceasta poate fi o sumă finită sau infinită, în funcție de spațiul probei utilizat.

Proprietăți

Funcția de generare a momentului are multe caracteristici care se conectează la alte subiecte în probabilitate și statistici matematice. Unele dintre cele mai importante caracteristici ale sale includ:

• Coeficientul de e^tb este probabilitatea ca X = b.
• Funcțiile generatoare de moment posedă o proprietate de unicitate. Dacă funcțiile de generare a momentului pentru două variabile aleatorii se potrivesc, atunci funcțiile de masă de probabilitate trebuie să fie aceleași. Cu alte cuvinte, variabilele aleatorii descriu aceeași distribuție de probabilitate.
• Funcțiile generatoare de moment pot fi utilizate pentru a calcula momentele X.

Calcularea momentelor

Ultimul element din lista de mai sus explică numele funcțiilor de generare de moment și, de asemenea, utilitatea acestora. Unele matematici avansate spun că, în condițiile pe care le-am stabilit, derivă a oricărui ordin al funcției M (T) există pentru când T = 0. Mai mult, în acest caz, putem schimba ordinea însumării și diferențierea în raport cu T pentru a obține următoarele formule (toate însumările sunt peste valorile de X în spațiul de probă S):

• M„(T) = Σ xe^tx f (X)
• M„(T) = Σ X²e^tx f (X)
• M„(T) = Σ X³e^tx f (X)
• M^(N)„(T) = Σ Xⁿe^tx f (X)

Dacă stabilim T = 0 în formulele de mai sus, apoi e^tx termenul devine e⁰ = 1. Astfel obținem formule pentru momentele variabilei aleatorii X:

• M'(0) = E(X)
• M"(0) = E(X²)
• M"(0) = E(X³)
• M⁽ⁿ⁾(0) = E(Xⁿ)

Aceasta înseamnă că, dacă funcția de generare a momentului există pentru o anumită variabilă aleatorie, atunci putem găsi media și variația sa în termeni de derivate ale funcției de generare a momentului. Media este M'(0), iar variația este M"(0) - [M„(0)]².

rezumat

Pe scurt, a trebuit să ne ocupăm de niște matematici destul de mari, așa că unele lucruri au fost luate în considerare. Deși trebuie să folosim calculul pentru cele de mai sus, în final, munca noastră matematică este de obicei mai ușoară decât calculând momentele direct din definiție.