Înțelegerea ecuațiilor echivalente în algebră

Ecuațiile echivalente sunt sisteme de ecuații care au aceleași soluții. Identificarea și rezolvarea ecuațiilor echivalente este o abilitate valoroasă, nu numai în clasa de algebră, ci și în viața de zi cu zi. Aruncați o privire la exemple de ecuații echivalente, cum să le rezolvați pentru una sau mai multe variabile și cum puteți utiliza această abilitate în afara unei clase.

Cheie de luat cu cheie

• Ecuațiile echivalente sunt ecuații algebice care au soluții sau rădăcini identice.
• Adăugarea sau scăderea aceluiași număr sau expresie pe ambele părți ale unei ecuații produce o ecuație echivalentă.
• Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații la același număr nenul produce o ecuație echivalentă.

Ecuații liniare cu o singură variabilă

Cele mai simple exemple de ecuații echivalente nu au nicio variabilă. De exemplu, aceste trei ecuații sunt echivalente între ele:

• 3 + 2 = 5
• 4 + 1 = 5
• 5 + 0 = 5

Recunoașterea acestor ecuații este echivalentă este excelent, dar nu este deosebit de util. De obicei, o problemă de ecuație echivalentă vă solicită să rezolvați o variabilă pentru a vedea dacă este aceeași (aceeași rădăcină) ca cel dintr-o altă ecuație.

De exemplu, următoarele ecuații sunt echivalente:

• x = 5
• -2x = -10

În ambele cazuri, x = 5. Cum știm acest lucru? Cum rezolvați asta pentru ecuația „-2x = -10”? Primul pas este cunoașterea regulilor ecuațiilor echivalente:

• Adăugarea sau scăderea aceluiași număr sau expresie pe ambele părți ale unei ecuații produce o ecuație echivalentă.
• Înmulțirea sau împărțirea ambelor părți ale unei ecuații la același număr nenul produce o ecuație echivalentă.
• Creșterea ambelor părți ale ecuației la aceeași putere impară sau luarea aceleiași rădăcini impare va produce o ecuație echivalentă.
• Dacă ambele părți ale unei ecuații sunt non-negative, creșterea ambelor părți ale unei ecuații la aceeași putere echivalentă sau luarea aceleiași rădăcini uniforme va da o ecuație echivalentă.

Exemplu

Punând în practică aceste reguli, determinați dacă aceste două ecuații sunt echivalente:

• x + 2 = 7
• 2x + 1 = 11

Pentru a rezolva acest lucru, trebuie să găsiți „x” pentru fiecare ecuație. Dacă „x” este aceeași pentru ambele ecuații, atunci ele sunt echivalente. Dacă „x” este diferită (adică ecuațiile au rădăcini diferite), atunci ecuațiile nu sunt echivalente. Pentru prima ecuație:

• x + 2 = 7
• x + 2 - 2 = 7 - 2 (scăzând ambele părți cu același număr)
• x = 5

Pentru a doua ecuație:

• 2x + 1 = 11
• 2x + 1 - 1 = 11 - 1 (scăzând ambele părți cu același număr)
• 2x = 10
• 2x / 2 = 10/2 (împărțind ambele părți ale ecuației la același număr)
• x = 5

Deci, da, cele două ecuații sunt echivalente deoarece x = 5 în fiecare caz.