Care este inegalitatea lui Markov?

Inegalitatea lui Markov este un rezultat util în probabilitatea care oferă informații despre distribuția probabilităților. Aspectul remarcabil în acest sens este faptul că inegalitatea ține de orice distribuție cu valori pozitive, indiferent de alte caracteristici pe care le are. Inegalitatea lui Markov dă o limită superioară pentru procentul distribuției care este peste o anumită valoare.

Declarația inegalității lui Markov

Inegalitatea lui Markov spune că pentru o variabilă pozitivă aleatorie X și orice număr real pozitiv A, probabilitatea ca X este mai mare sau egal cu A este mai mică sau egală cu valoarea preconizată de X impartit de A.

Descrierea de mai sus poate fi enunțată mai succint folosind notație matematică. În simboluri, scriem inegalitatea lui Markov ca:

P (X ≥ A) ≤ E( X) /A

Ilustrația inegalității

Pentru a ilustra inegalitatea, să presupunem că avem o distribuție cu valori non-negative (cum ar fi o distribuție chi-pătrată). Dacă această variabilă aleatoare X are valoarea așteptată de 3 vom analiza probabilitățile pentru câteva valori ale A.

• Pentru A = 10 Inegalitatea lui Markov spune că P (X ≥ 10) ≤ 3/10 = 30%. Deci există o probabilitate de 30% X este mai mare de 10.
• Pentru A = 30 Inegalitatea lui Markov spune că P (X ≥ 30) ≤ 3/30 = 10%. Deci există o probabilitate de 10% X este mai mare de 30.
• Pentru A = 3 Inegalitatea lui Markov spune că P (X ≥ 3) ≤ 3/3 = 1. Evenimentele cu o probabilitate de 1 = 100% sunt sigure. Prin urmare, acest lucru spune că o anumită valoare a variabilei aleatorii este mai mare sau egală cu 3. Acest lucru nu ar trebui să fie prea surprinzător. Dacă toate valorile din X au fost mai mici de 3, atunci valoarea scontată ar fi, de asemenea, mai mică de 3.
• Ca valoare a A crește, coeficientul E(X) /A va deveni din ce în ce mai mic. Aceasta înseamnă că probabilitatea este foarte mică X este foarte, foarte mare. Din nou, cu o valoare așteptată de 3, nu ne-am aștepta să existe o mare parte a distribuției cu valori foarte mari.

Utilizarea inegalității

Dacă știm mai multe despre distribuția cu care lucrăm, atunci de obicei putem îmbunătăți inegalitatea lui Markov. Valoarea utilizării acestuia este că deține pentru orice distribuție cu valori non-negative.

De exemplu, dacă cunoaștem înălțimea medie a elevilor la o școală elementară. Inegalitatea lui Markov ne spune că nu mai mult de o șesime dintre elevi pot avea o înălțime mai mare de șase ori înălțimea medie.

Cealaltă utilizare majoră a inegalității lui Markov este de a dovedi inegalitatea lui Chebyshev. Acest fapt duce la faptul că denumirea „inegalitatea lui Chebyshev” este aplicată și inegalității lui Markov. Confuzia numirii inegalităților se datorează și circumstanțelor istorice. Andrey Markov a fost elevul lui Pafnuty Chebyshev. Opera lui Chebyshev conține inegalitatea care este atribuită lui Markov.