Ce este setul gol în teoria seturilor?
Share
Când nimic nu poate fi ceva? Pare o întrebare stupidă și destul de paradoxală. În câmpul matematic al teoriei de seturi, este de rutină ca nimic să nu fie altceva decât nimic. Cum poate fi aceasta?
Când formăm un set fără elemente, nu mai avem nimic. Avem un set fără nimic în el. Există un nume special pentru set care nu conține elemente. Aceasta se numește set gol sau nul.
O diferență subtilă
Definiția setului gol este destul de subtilă și necesită un pic de gândire. Este important să ne amintim că ne gândim la un set ca la o colecție de elemente. Setul în sine este diferit de elementele pe care le conține.
De exemplu, ne vom uita la 5, care este un set care conține elementul 5. Setul 5 nu este un număr. Este un set cu numărul 5 ca element, în timp ce 5 este un număr.
Într-un mod similar, setul gol nu este nimic. În schimb, este setul fără elemente. Ajută să gândim seturile ca pe containere, iar elementele sunt acele lucruri pe care le punem în ele. Un container gol este încă un container și este analog cu setul gol.
Unicitatea setului gol
Setul gol este unic, motiv pentru care este complet adecvat să vorbim set gol, mai degrabă decât un set gol. Acest lucru face ca setul gol să fie distinct de celelalte seturi. Există la infinit multe seturi cu un singur element în ele. Seturile a, 1, b și 123 au fiecare un element, deci sunt echivalente unul cu celălalt. Deoarece elementele în sine sunt diferite unele de altele, seturile nu sunt egale.
Nu există nimic special în ceea ce privește exemplele de mai sus având fiecare element. Cu o singură excepție, pentru orice număr de numărare sau infinit, există o mulțime de seturi de dimensiuni. Excepția este pentru numărul zero. Există un singur set, setul gol, fără elemente în el.
Dovada matematică a acestui fapt nu este dificilă. Presupunem mai întâi că setul gol nu este unic, că există două seturi fără elemente în ele și apoi folosim câteva proprietăți din teoria seturilor pentru a arăta că această presupunere implică o contradicție.
Notare și terminologie pentru setul gol
Setul gol este notat cu simbolul ∅, care provine dintr-un simbol similar în alfabetul danez. Unele cărți se referă la setul gol cu numele său alternativ de set nul.
Proprietățile setului gol
Deoarece există un singur set gol, merită să vedem ce se întâmplă atunci când operațiunile de intersecție, unire și complement sunt utilizate cu setul gol și un set general pe care îl vom denota prin X. De asemenea, este interesant să luăm în considerare subsetul setului gol și când este setul gol un subset. Aceste date sunt colectate mai jos:
- Intersecția oricărui set cu setul gol este setul gol. Acest lucru se datorează faptului că nu există elemente în setul gol, astfel încât cele două seturi nu au elemente comune. În simboluri, scriem X ∩ ∅ = ∅.
- Unirea oricărui set cu setul gol este setul cu care am început. Acest lucru se datorează faptului că nu există elemente în setul gol și, prin urmare, nu adăugăm elemente la celălalt set atunci când formăm uniunea. În simboluri, scriem X U ∅ = X.
- Complementul setului gol este setul universal pentru setarea în care lucrăm. Acest lucru se datorează faptului că setul tuturor elementelor care nu sunt în setul gol este doar setul tuturor elementelor.
- Setul gol este un subset al oricărui set. Aceasta deoarece formăm subseturi ale unui set X prin selectarea (sau nu selectarea) elementelor din X. O opțiune pentru un subset este să nu utilizați deloc elemente X. Acest lucru ne oferă setul gol.
