Care este probabilitatea că ai inhalat doar o parte din ultima respirație a lui Lincoln?

Respirați și apoi expirați. Care este probabilitatea ca cel puțin una dintre moleculele pe care le-ai inhalat să fie una dintre moleculele din respirația finală a lui Abraham Lincoln? Acesta este un eveniment bine definit, deci are o probabilitate. Întrebarea este ce probabilitate să apară? Pauză o clipă și gândește-te la ce număr sună rezonabil înainte de a citi mai departe.

Ipoteze

Să începem cu identificarea câtorva presupuneri. Aceste ipoteze vor ajuta la justificarea anumitor pași în calculul acestei probabilități. Presupunem că, de la moartea lui Lincoln în urmă cu 150 de ani, moleculele din ultima lui respirație sunt răspândite uniform în întreaga lume. O a doua presupunere este că majoritatea acestor molecule sunt încă o parte a atmosferei și pot fi inhalate.

Merită să remarcăm în acest moment că aceste două ipoteze sunt importante, nu că persoana despre care punem întrebarea. Lincoln ar putea fi înlocuit cu Napoleon, Gengis Khan sau Joan of Arc. Atâta timp cât a trecut suficient timp pentru a difuza respirația finală a unei persoane și pentru ca respirația finală să scape în atmosfera din jur, următoarea analiză va fi valabilă.

Uniformă

Începeți prin selectarea unei singure molecule. Să presupunem că există un total de A molecule de aer din atmosfera lumii. În plus, să presupunem că au existat B molecule de aer expirate de Lincoln în respirația sa finală. Prin presupunerea uniformă, probabilitatea ca o singură moleculă de aer pe care o inhalezi să facă parte din ultima suflare a lui Lincoln este B/A. Când comparăm volumul unei singure respirații cu volumul atmosferei, vedem că aceasta este o probabilitate foarte mică.

Regula de completare

În continuare vom folosi regula complementului. Probabilitatea ca orice moleculă specială pe care o inhalezi să nu fi făcut parte din ultima respirație a lui Lincoln este de 1 - B/A. Această probabilitate este foarte mare.

Regula înmulțirii

Până acum nu luăm în considerare decât o singură moleculă. Cu toate acestea, respirația finală cuiva conține multe molecule de aer. Astfel, luăm în considerare mai multe molecule folosind regula multiplicării.

Dacă inhalăm două molecule, probabilitatea ca niciuna dintre ele să nu facă parte din ultima respirație a lui Lincoln este:

(1 - B/A) (1 - B/A) = (1 - B/A)²

Dacă inspirăm trei molecule, probabilitatea ca niciuna să nu facă parte din ultima respirație a lui Lincoln este:

(1 - B/A) (1 - B/A) (1 - B/A) = (1 - B/A)³

În general, dacă inspirăm N molecule, probabilitatea ca niciuna să nu facă parte din ultima respirație a lui Lincoln este:

(1 - B/A)^N.

Reguli de completare din nou

Folosim din nou regula complementului. Probabilitatea ca cel puțin o moleculă să fie N a fost expirat de Lincoln este:

1 - (1 - B/A)^N.