Care este simțirea unei distribuții exponențiale?

Parametrii comuni pentru distribuția probabilităților includ media și abaterea standard. Media oferă o măsurătoare a centrului, iar abaterea standard spune cât de răspândită este distribuția. Pe lângă acești parametri cunoscuți, există și alții care atrag atenția asupra altor caracteristici decât răspândirea sau centrul. O astfel de măsurare este aceea a neputinței. Necazul oferă o modalitate de a atașa o valoare numerică asimetriei unei distribuții.

O distribuție importantă pe care o vom examina este distribuția exponențială. Vom vedea cum se dovedește că simțul unei distribuții exponențiale este 2.

Funcția de densitate a probabilității exponențiale

Începem prin a preciza funcția densității de probabilitate pentru o distribuție exponențială. Aceste distribuții au fiecare un parametru, care este legat de parametrul din procesul Poisson aferent. Această distribuție este Exp (A), unde A este parametrul. Densitatea probabilității pentru această distribuție este:

f(X) = e^-X/A/ A, unde X este non-negativ.

Aici e este constanta matematica e adică aproximativ 2.718281828. Media și abaterea standard a distribuției exponențiale Exp (A) sunt ambele legate de parametrul A. De fapt, media și abaterea standard sunt ambele egale cu A.

Definiția Skewness

Greutatea este definită de o expresie legată de al treilea moment despre medie. Această expresie este valoarea așteptată:

E [(X - μ)³/ σ³] = (E [X³] - 3μ E [X²] + 3μ²E [X] - μ³) / Σ³ = (E [X³] - 3μ (σ² - μ³) / Σ³.

Înlocuim μ și σ cu A, iar rezultatul este că înclinarea este E [X³] / A³ - 4.

Nu mai rămâne decât să calculăm al treilea moment despre origine. Pentru aceasta, trebuie să integrăm următoarele:

∫^∞₀ X ³ f(X) dX.

Această integrală are o infinitate pentru una dintre limitele sale. Astfel, poate fi evaluat ca o integrală improprie de tip I. De asemenea, trebuie să stabilim ce tehnică de integrare să folosim. Deoarece funcția de integrat este produsul unei funcții polinomiale și exponențiale, va trebui să folosim integrarea pe părți. Această tehnică de integrare este aplicată de mai multe ori. Rezultatul final este că:

E [X³] = 6A³

Apoi combinăm acest lucru cu ecuația noastră anterioară pentru simțire. Vedem că oboseala este 6 - 4 = 2.

implicaţii

Este important de menționat că rezultatul este independent de distribuția exponențială specifică cu care începem. Gradul de distribuție exponențială nu se bazează pe valoarea parametrului A.

Mai mult, vedem că rezultatul este o înclinare pozitivă. Aceasta înseamnă că distribuția este înclinată spre dreapta. Acest lucru nu ar trebui să surprindă cum ne gândim la forma graficului funcției densității de probabilitate. Toate aceste distribuții au interceptare y ca 1 // theta și o coadă care se află la extremitatea dreaptă a graficului, corespunzând valorilor ridicate ale variabilei X.