De ce Zero Factorial este egal cu unul?

Un factorial zero este o expresie matematică pentru numărul de modalități de a aranja un set de date fără valori în el, care este egal cu una. În general, factorialul unui număr este o modalitate scurtă de a scrie o expresie de înmulțire în care numărul este înmulțit cu fiecare număr mai mic decât acesta, dar mai mare decât zero. 4! = 24, de exemplu, este aceeași cu scrierea 4 x 3 x 2 x 1 = 24, în care se folosește un semn de exclamare din dreapta numărului factorial (patru) pentru a exprima aceeași ecuație.

Din aceste exemple este destul de clar cum să calculăm factorialul unui număr întreg mai mare sau egal cu unul, dar de ce valoarea factorială zero este în ciuda regulii matematice că orice înmulțit cu zero este egal cu zero? 

Definiția factorială afirmă că 0! = 1. În mod obișnuit, acesta confuză oamenii pentru prima dată când văd această ecuație, dar vom vedea în exemplele de mai jos de ce acest lucru are sens atunci când analizăm definiția, permutările și formulele pentru factorialul zero.

Definiția unui factor zero

Primul motiv pentru care zero factorial este egal cu unul este pentru că acesta este ceea ce spune definiția că ar trebui să fie, care este o explicație corectă din punct de vedere matematic, dacă nu una nesatisfăcătoare. Cu toate acestea, trebuie să ne amintim că definiția unui factorial este produsul tuturor numărurilor întregi egale sau mai mici ca valoare a numărului inițial - cu alte cuvinte, acesta este un număr de combinații posibile cu numere mai mici sau egale cu acel număr.

Deoarece zero nu are un număr mai mic, dar este în continuare și în sine un număr, există o singură combinație posibilă a modului în care setul de date poate fi aranjat: nu poate. Acest lucru contează încă ca o modalitate de aranjare, deci prin definiție, un factor factor zero este egal cu unul, la fel ca 1! este egal cu unul, deoarece există o singură aranjare posibilă a acestui set de date.

Pentru o mai bună înțelegere a modului în care acest lucru are sens matematic, este important să rețineți că factori ca aceștia sunt folosiți pentru a determina posibile ordine de informații într-o secvență, cunoscute și sub numele de permutații, care pot fi utile în înțelegerea faptului că, deși nu există valori în un set gol sau zero, există încă o modalitate prin care setul este aranjat. 

Permutații și factoriale

O permutare este o ordine specifică, unică de elemente dintr-un set. De exemplu, există șase permutări ale setului 1, 2, 3, care conține trei elemente, deoarece putem scrie aceste elemente în următoarele șase moduri:

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 3, 1
• 2, 1, 3
• 3, 2, 1
• 3, 1, 2

Am putea afirma și acest fapt prin ecuație 3! = 6, care este o reprezentare factorială a setului complet de permutări. În mod similar, sunt 4! = 24 permutări ale unui set cu patru elemente și 5! = 120 permutări ale unui set cu cinci elemente. Deci, o modalitate alternativă de a gândi factorial este să lăsați n fi un număr natural și spune asta n! este numărul de permutări pentru un set cu n element.

Cu acest mod de a gândi factorial, să analizăm câteva exemple. Un set cu două elemente are două permutații: a, b pot fi aranjate ca a, b sau ca b, a. Aceasta corespunde la 2! = 2. Un set cu un singur element are o singură permutare, deoarece elementul 1 din set 1 poate fi comandat doar într-un singur mod.

Acest lucru ne aduce la factorial zero. Setul cu elemente zero se numește set gol. Pentru a găsi valoarea factorială zero ne întrebăm: „În câte moduri putem comanda un set fără elemente?” Aici trebuie să ne întindem puțin gândirea. Chiar dacă nu este nimic de pus în ordine, există o modalitate de a face acest lucru. Astfel avem acel 0! = 1.

Formule și alte validări

Un alt motiv pentru definirea lui 0! = 1 are legătură cu formulele pe care le folosim pentru permutări și combinații. Acest lucru nu explică de ce zero factorial este unul, dar arată de ce setarea 0! = 1 este o idee bună.

O combinație este o grupare de elemente dintr-un set fără a ține cont de ordine. De exemplu, considerăm setul 1, 2, 3, în care există o combinație formată din toate cele trei elemente. Indiferent de ordinea în care aranjăm aceste elemente, încheiem aceeași combinație.

Folosim formula pentru combinații, cu combinația de trei elemente luate trei simultan și vedem că 1 = C (3, 3) = 3! / (3! 0!) Și dacă tratăm 0! ca o cantitate necunoscută și rezolvăm algebric, vedem că 3! 0! = 3! si deci 0! = 1.

Există și alte motive pentru care definiția lui 0! = 1 este corect, dar motivele de mai sus sunt cele mai simple. Ideea de ansamblu în matematică este atunci când se construiesc idei și definiții noi, ele rămân în concordanță cu alte matematice, iar acest lucru este exact ceea ce vedem în definiția factorialului zero este egal cu una.