Gradele de libertate în statistică și matematică

În statistici, gradele de libertate sunt utilizate pentru a defini numărul de cantități independente care pot fi atribuite unei distribuții statistice. Acest număr se referă de obicei la un număr întreg pozitiv care indică lipsa restricțiilor asupra capacității unei persoane de a calcula factorii lipsă din problemele statistice.

Gradele de libertate acționează ca variabile în calculul final al unei statistici și sunt utilizate pentru a determina rezultatul diferitelor scenarii într-un sistem, iar în grade de matematică libertate definește numărul de dimensiuni dintr-un domeniu care este necesar pentru a determina vectorul complet.

Pentru a ilustra conceptul de grad de libertate, vom analiza un calcul de bază privind media eșantionului și pentru a găsi media unei liste de date, adăugăm toate datele și împărțim la numărul total de valori.

O ilustrare cu un eșantion mediu

Pentru o clipă, să presupunem că știm că media unui set de date este 25 și că valorile din acest set sunt 20, 10, 50 și un număr necunoscut. Formula pentru o medie de eșantion ne oferă ecuația (20 + 10 + 50 + x) / 4 = 25, Unde X denotă necunoscutul, folosind unele algebre de bază, se poate determina apoi numărul care lipsește, X, este egal cu 20.

Să modificăm puțin acest scenariu. Din nou, presupunem că știm că media unui set de date este 25. Cu toate acestea, de data aceasta valorile din setul de date sunt 20, 10 și două valori necunoscute. Aceste necunoscute ar putea fi diferite, așa că folosim două variabile diferite, X, și y, să denotăm acest lucru. Ecuația rezultată este (20 + 10 + x + y) / 4 = 25. Cu unele algebre, obținem y = 70- X. Formula este scrisă în acest formular pentru a arăta că odată ce alegem o valoare pentru X, valoarea pentru y este complet determinat. Avem o singură alegere de făcut, iar acest lucru arată că există un singur grad de libertate.

Acum vom analiza o dimensiune de eșantion de o sută. Dacă știm că media acestor date de eșantion este de 20, dar nu cunoaștem valorile oricăreia dintre date, atunci există 99 de grade de libertate. Toate valorile trebuie să se adauge la un total de 20 x 100 = 2000. Odată ce avem valorile a 99 de elemente din setul de date, atunci ultima a fost determinată.

Scor de t student și distribuție Chi-Square

Gradele de libertate joacă un rol important atunci când utilizați Studentul T-tabel de scor. Există de fapt mai multe t-scor distribuții. Diferențiem aceste distribuții prin utilizarea de grade de libertate.

Aici distribuția probabilității pe care o folosim depinde de dimensiunea eșantionului nostru. Dacă dimensiunea eșantionului nostru este n, atunci numărul de grade de libertate este n-1. De exemplu, o dimensiune de eșantion de 22 ar necesita să utilizăm rândul T-tabel de scor cu 21 de grade de libertate.

Utilizarea unei distribuții chi-pătrate necesită, de asemenea, utilizarea gradelor de libertate. Aici, într-un mod identic cu cel al t-scor distribuție, mărimea eșantionului determină ce distribuție să folosească. Dacă dimensiunea eșantionului este n, atunci sunt n-1 grade de libertate.

Abateri standard și tehnici avansate

Un alt loc în care apar grade de libertate este în formula abaterii standard. Această apariție nu este la fel de depășită, dar o putem vedea dacă știm unde să privim. Pentru a găsi o abatere standard, căutăm abaterea „medie” de la medie. Cu toate acestea, după ce scăzem media de la fiecare valoare a datelor și pătrund diferențele, sfârșim divizând cu n-1 Decat n după cum ne-am putea aștepta.

Prezența n-1 provine din numărul de grade de libertate. De când n valorile datelor și media eșantionului sunt utilizate în formulă, există n-1 grade de libertate.

Tehnici statistice mai avansate folosesc modalități mai complicate de numărare a gradelor de libertate. La calcularea statisticii testului pentru două mijloace cu eșantioane independente de n₁ și n₂ elemente, numărul de grade de libertate are o formulă destul de complicată. Poate fi estimat folosind cel mai mic din n₁-1 și n₂-1

Un alt exemplu de mod diferit de a număra gradele de libertate vine cu un F Test. În realizarea unui F test avem k mostre de fiecare dimensiune n-gradele de libertate în numărător este k-1 și în numitor este k(n-1).