Exemple de seturi infinite necunoscute

Nu toate seturile infinite sunt la fel. O modalitate de a distinge între aceste seturi este întrebând dacă mulțimea este infinit sau nu. În acest fel, spunem că mulțimile infinite sunt numărabile sau nenumărate. Vom lua în considerare câteva exemple de seturi infinite și vom determina care dintre acestea sunt de necontestat.

Contabil Infinit

Începem prin a exclude câteva exemple de seturi infinite. Multe dintre infinitele seturi la care ne-am gândi imediat se găsesc a fi nenumărate. Aceasta înseamnă că pot fi puse într-o corespondență unu cu unu cu numerele naturale.

Numerele naturale, numerele întregi și cele raționale sunt toate infinit infinit. Orice unire sau intersecție de seturi infinit de nenumărate este, de asemenea, de numărat. Produsul cartezian al oricărui număr de seturi numărătoare este de numărat. Orice subset al unui set numărabil este de asemenea contabil.

Nenumărabil

Cea mai obișnuită modalitate de introducere a mulțimilor nenumărate este luarea în considerare a intervalului (0, 1) a numerelor reale. Din acest fapt, și funcția unu-la-unu f( X ) = bx + A. este un corolar simplu pentru a arăta că orice interval (A, b) a numerelor reale este incontestabil infinit.

Întregul set de numere reale este de asemenea de nenumărat. O modalitate de a arăta acest lucru este utilizarea funcției tangentiale unu la unu f ( X ) = bronz X. Domeniul acestei funcții este intervalul (-π / 2, π / 2), un set nenumărat și intervalul este setul tuturor numerelor reale.

Alte seturi necunoscute

Operațiunile teoriei de seturi de bază pot fi utilizate pentru a produce mai multe exemple de seturi infinit de nenumărate:

• Dacă A este un subset de B și A este de necontestat, la fel și așa B. Aceasta oferă o dovadă mai simplă că întregul set de numere reale este de nenumărat.
• Dacă A este de nenumărat și B este orice set, apoi unirea A U B este de asemenea nenumărat.
• Dacă A este de nenumărat și B este orice set, apoi produsul cartezian A X B este de asemenea nenumărat.
• Dacă A este infinit (chiar și nesfințit), apoi setul de putere al A este de nenumărat.

Alte două exemple, care sunt legate unele de altele, sunt oarecum surprinzătoare. Nu orice subset al numerelor reale este incontestabil infinit (într-adevăr, numerele raționale formează un subset contabil al realelor care este și dens). Anumite subseturi sunt infinit infinit.

Una dintre aceste subseturi infinit de nenumărate implică anumite tipuri de expansiuni zecimale. Dacă alegem două cifre și formăm fiecare expansiune zecimală posibilă doar cu aceste două cifre, atunci setul infinit rezultat este de necontestat.

Un alt set este mai complicat de construit și este, de asemenea, de nenumărat. Începeți cu intervalul închis [0,1]. Eliminați treimea mijlocie a acestui set, rezultând în [0, 1/3] U [2/3, 1]. Acum eliminați treimea mijlocie a fiecăreia dintre piesele rămase ale setului. Deci (1/9, 2/9) și (7/9, 8/9) sunt eliminate. Continuăm în acest mod. Ansamblul de puncte care rămân după ce toate aceste intervale sunt eliminate nu este un interval, cu toate acestea, el este incontestabil infinit. Acest set se numește Cantor Set.

Există infinit de multimi de nenumărate, dar exemplele de mai sus sunt unele dintre cele mai frecvent întâlnite seturi.