Cum se calculează variația unei distribuții Poisson

Varianța unei distribuții a unei variabile aleatorii este o caracteristică importantă. Acest număr indică răspândirea unei distribuții și se găsește prin pătratul abaterii standard. O distribuție discretă folosită frecvent este cea a distribuției Poisson. Vom vedea cum se calculează variația distribuției Poisson cu parametrul λ.

Distribuția Poisson

Distribuțiile Poisson sunt utilizate atunci când avem un continuum de un fel și socotim modificări discrete în acest continuum. Acest lucru se întâmplă atunci când avem în vedere numărul de persoane care ajung la un contor de bilete de film în decurs de o oră, urmărim numărul de mașini care călătoresc printr-o intersecție cu o oprire pe patru căi sau numărăm defectele aparute pe o lungime. din sârmă.

Dacă facem câteva ipoteze clarificatoare în aceste scenarii, atunci aceste situații corespund condițiilor pentru un proces Poisson. Spunem apoi că variabila aleatorie, care contează numărul de modificări, are o distribuție Poisson.

Distribuția Poisson se referă de fapt la o familie infinită de distribuții. Aceste distribuții sunt echipate cu un singur parametru λ. Parametrul este un număr real pozitiv care este strâns legat de numărul preconizat de modificări observate în continuu. Mai mult, vom vedea că acest parametru este egal cu nu numai media distribuției, ci și variația distribuției.

Funcția de masă de probabilitate pentru o distribuție Poisson este dată de:

f(X) = (λX e-λ) /X!

În această expresie, scrisoarea e este un număr și este constanta matematică cu o valoare aproximativ egală cu 2.718281828. Variabila X poate fi orice număr întreg non-negativ.

Calcularea variației

Pentru a calcula media unei distribuții Poisson, folosim funcția de generare a momentului acestei distribuții. Vedem asta:

M( T ) = E [etX] = Σ etXf( X) = ΣetX λX e-λ) /X!

Reamintim acum seria Maclaurin pentru e^u. Deoarece orice derivat al funcției e^u este e^u, toate aceste derivate evaluate la zero ne oferă 1. Rezultatul este seria e^u = Σ uⁿ/n!.

Prin utilizarea seriei Maclaurin pentru e^u, putem exprima funcția generatoare de moment nu ca o serie, ci într-o formă închisă. Combinăm toți termenii cu exponentul din X. Prin urmare M(T) = e^{λ (et - 1)}.

Acum găsim variația luând a doua derivată a M și evaluarea acestui lucru la zero. De cand M„(T) = λe^TM(T), folosim regula produsului pentru a calcula a doua derivată:

M„(T) = Λ2e2TM„(T) + λeTM(T)

Evaluăm acest lucru la zero și găsim asta M"(0) = λ² + λ. Folosim apoi faptul că M'(0) = λ pentru a calcula variația.

var (X) = λ2 + λ - (λ)2 = λ.

Acest lucru arată că parametrul λ nu este doar media distribuției Poisson, ci și variația.