Cum se dovedește regula probei de completare

Mai multe teoreme în probabilitate pot fi deduse din axiomele probabilității. Aceste teoreme pot fi aplicate pentru a calcula probabilitățile pe care poate dorim să le cunoaștem. Un astfel de rezultat este cunoscut sub numele de regula complementului. Această afirmație ne permite să calculăm probabilitatea unui eveniment A prin cunoașterea probabilității complementului A^C. După precizarea regulii complementului, vom vedea cum poate fi dovedit acest rezultat.

Regula de completare

Complementul evenimentului A este notat de A^C. Complementul de A este ansamblul tuturor elementelor din setul universal sau spațiul de probă S, care nu sunt elemente din set A.

Regula complementului este exprimată prin următoarea ecuație:

P (A^C) = 1 - P (A)

Aici vedem că probabilitatea unui eveniment și probabilitatea complementului său trebuie să fie de 1.

Dovada regulii de completare

Pentru a dovedi regula complementului, începem cu axiomele probabilității. Aceste declarații sunt asumate fără dovezi. Vom vedea că acestea pot fi utilizate în mod sistematic pentru a demonstra afirmația noastră cu privire la probabilitatea complementului unui eveniment.

• Primul axiom al probabilității este că probabilitatea oricărui eveniment este un număr real non-negativ.
• Al doilea axiom al probabilității este acela că probabilitatea întregului spațiu de probă S este unul. Simbolic scriem P (S) = 1.
• A treia axiomă de probabilitate afirmă că dacă A și B se exclud reciproc (ceea ce înseamnă că au o intersecție goală), atunci afirmăm probabilitatea unirii acestor evenimente ca P (A U B ) = P (A) + P (B).

Pentru regula complementului, nu va trebui să folosim primul axiom din lista de mai sus.

Pentru a demonstra afirmația noastră avem în vedere evenimentele Ași A^C. Din teoria seturilor, știm că aceste două seturi au intersecție goală. Acest lucru se datorează faptului că un element nu poate fi simultan în ambele A și nu în A. Întrucât există o intersecție goală, aceste două seturi se exclud reciproc.

Unirea celor două evenimente A și A^C sunt de asemenea importante. Acestea constituie evenimente exhaustive, ceea ce înseamnă că unirea acestor evenimente este tot spațiul de probă S.

Aceste fapte, combinate cu axiomele ne oferă ecuația

1 = P (S) = P (A U A^C) = P (A) + P (A^C) .

Prima egalitate se datorează celui de-al doilea axiom de probabilitate. A doua egalitate se datorează faptului că evenimentele A și A^C sunt exhaustive. A treia egalitate se datorează celui de-al treilea axiom de probabilitate.

Ecuația de mai sus poate fi reorganizată în forma descrisă mai sus. Tot ce trebuie să facem este să scădem probabilitatea A din ambele părți ale ecuației. Prin urmare

1 = P (A) + P (A^C)

devine ecuația

P (A^C) = 1 - P (A).

Desigur, am putea, de asemenea, să exprimăm regula afirmând că:

P (A) = 1 - P (A^C).

Toate aceste trei ecuații sunt moduri echivalente de a spune același lucru. Din această dovadă vedem cum doar două axiome și o anumită teorie a seturilor fac un drum lung pentru a ne ajuta să dovedim noi afirmații cu privire la probabilitate.