Cum se dovedește legile lui De Morgan

În statisticile matematice și probabilitatea este important să fie familiarizați cu teoria seturilor. Operațiile elementare ale teoriei de seturi au conexiuni cu anumite reguli în calculul probabilităților. Interacțiunile acestor operațiuni elementare de unire, intersecție și complement sunt explicate prin două afirmații cunoscute sub numele de Legile lui De Morgan. După afirmarea acestor legi, vom vedea cum să le dovedim.

Declarația legilor lui De Morgan

Legile lui De Morgan se referă la interacțiunea uniunii, intersecției și complementului. Reamintim că:

• Intersecția seturilor A și B constă din toate elementele comune ambelor A și B. Intersecția este notată de A ∩ B.
• Unirea seturilor A și B constă din toate elementele care în oricare A sau B, inclusiv elementele din ambele seturi. Intersecția este notată de A U B.
• Complementul setului A constă din toate elementele care nu sunt elemente ale A. Acest complement este notat cu A^C.

Acum că am amintit de aceste operațiuni elementare, vom vedea declarația Legilor lui De Morgan. Pentru fiecare pereche de seturi A și B

1. (A ∩ B)^C = A^C U B^C.
2. (A U B)^C = A^C ∩ B^C.

Schița strategiei de probă

Înainte de a sări în dovadă ne vom gândi cum să dovedim afirmațiile de mai sus. Încercăm să demonstrăm că două seturi sunt egale unul cu celălalt. Modul în care acest lucru este realizat într-o dovadă matematică este prin procedura dublei includeri. Schița acestei metode de dovadă este:

1. Arătați că setul din partea stângă a semnului nostru egal este un subset al setului din dreapta.
2. Repetați procesul în direcția opusă, arătând că setul din dreapta este un subset al setului din stânga.
3. Aceste două etape ne permit să spunem că seturile sunt de fapt egale între ele. Ele constau din toate aceleași elemente.

Dovada uneia dintre legi

Vom vedea cum se dovedește prima dintre Legile lui De Morgan de mai sus. Începem prin a arăta că (A ∩ B)^C este un subset de A^C U B^C.

1. În primul rând să presupunem că X este un element din (A ∩ B)^C.
2. Aceasta înseamnă că X nu este un element din (A ∩ B).
3. Întrucât intersecția este ansamblul tuturor elementelor comune ambelor A și B, pasul anterior înseamnă că X nu poate fi un element al ambelor A și B.
4. Aceasta înseamnă că X este trebuie să fie un element din cel puțin unul dintre seturi A^C sau B^C.
5. Prin definiție, aceasta înseamnă că X este un element al A^C U B^C
6. Am arătat includerea subsetului dorită.

Dovada noastră este acum finalizată. Pentru a o completa, vom arăta includerea subsetului opus. Mai precis trebuie să arătăm A^C U B^C este un subset de (A ∩ B)^C.

1. Începem cu un element X în set A^C U B^C.
2. Aceasta înseamnă că X este un element al A^C sau asta X este un element al B^C.
3. Prin urmare X nu este un element din cel puțin unul dintre seturi A sau B.
4. Asa de X nu poate fi un element al ambelor A și B. Aceasta înseamnă că X este un element din (A ∩ B)^C.
5. Am arătat includerea subsetului dorită.

Dovada celorlalte legi

Dovada celorlalte afirmații este foarte similară cu cea pe care am enunțat-o mai sus. Tot ce trebuie făcut este de a arăta o includere subset a seturilor de ambele părți ale semnului egal.