Cum se folosește „Dacă și numai dacă” în matematică

Când citiți despre statistici și matematică, o frază care apare în mod regulat este „dacă și numai dacă”. Această frază apare în special în enunțuri ale teoremelor sau dovezilor matematice. Dar ce înseamnă, mai exact, această afirmație?

Ce înseamnă dacă și numai dacă înseamnă în matematică?

Pentru a înțelege „dacă și numai dacă”, trebuie să știm mai întâi ce se înțelege printr-o afirmație condiționată. O afirmație condițională este una care este formată din alte două afirmații, pe care le vom denota prin P și Q. Pentru a forma o declarație condițională, am putea spune „dacă P atunci Q.”

Următoarele sunt exemple de acest tip de afirmații:

• Dacă plouă afară, atunci îmi iau umbrela cu mine în plimbare.
• Dacă studiați din greu, atunci veți câștiga un A.
• Dacă n este divizibil cu 4 n este divizibil cu 2.

Converse și condiționare

Alte trei declarații sunt legate de orice declarație condiționată. Acestea se numesc invers, invers și contrapositiv. Formăm aceste afirmații schimbând ordinea P și Q din condiționalul inițial și introducând cuvântul „nu” pentru invers și contrapositiv.

Trebuie doar să luăm în considerare conversația aici. Această afirmație este obținută din original spunând „dacă Q atunci P.” Să presupunem că începem cu condiționalul „dacă plouă afară, atunci îmi iau umbrela cu mine în plimbare”. Conversația acestei afirmații este „dacă eu ia-mi umbrela cu mine în plimbare, apoi plouă afară. "

Trebuie doar să luăm în considerare acest exemplu pentru a ne da seama că condiționalul inițial nu este în mod logic același cu cel al conversației sale. Confuzia acestor două forme de declarații este cunoscută sub numele de eroare inversă. Se poate lua o umbrelă pe o plimbare, chiar dacă este posibil să nu plouă afară.

Pentru un alt exemplu, considerăm condiționalul „Dacă un număr este divizibil cu 4, atunci acesta este divizibil cu 2.” Această afirmație este clar adevărată. Cu toate acestea, conversația acestei afirmații „Dacă un număr este divizibil cu 2, atunci este divizibil cu 4” este fals. Trebuie doar să ne uităm la un număr precum 6. Deși 2 împarte acest număr, 4 nu. Deși afirmația inițială este adevărată, conversația sa nu este.

Biconditional

Acest lucru ne aduce la o afirmație bicondițională, care este cunoscută și ca o afirmație „dacă și numai dacă”. Anumite afirmații condiționale au și converse care sunt adevărate. În acest caz, putem forma ceea ce este cunoscut sub numele de afirmație bicondițională. O declarație bicondițională are forma:

„Dacă P atunci Q, și dacă Q atunci P.”

Întrucât această construcție este oarecum incomodă, mai ales când P și Q sunt propriile lor enunțuri logice, simplificăm enunțul unei bicondiții folosind sintagma „dacă și numai dacă”. În loc să spunem „dacă P atunci Q, și dacă Q atunci P” spunem în schimb „P dacă și numai dacă Q.” Această construcție elimină o oarecare redundanță.

Exemplu de statistici

Pentru un exemplu de sintagmă „dacă și numai dacă” care implică statistici, nu căutați mai departe decât un fapt privind abaterea standard a eșantionului. Abaterea standard a unui eșantion de date este egală cu zero dacă și numai dacă toate valorile datelor sunt identice.

Împărțim această afirmație bicondițională într-un condițional și invers. Atunci vedem că această afirmație înseamnă ambele dintre următoarele:

• Dacă abaterea standard este zero, atunci toate valorile datelor sunt identice.
• Dacă toate valorile datelor sunt identice, atunci abaterea standard este egală cu zero.

Dovada biconditionala

Dacă încercăm să dovedim o bicondiționare, atunci de cele mai multe ori sfârșim împărțind-o. Acest lucru face ca dovada noastră să aibă două părți. O parte pe care o dovedim este „dacă P atunci Q.” Cealaltă parte a dovezii de care avem nevoie este „dacă Q atunci P.”

Condiții necesare și suficiente

Declarațiile bicondiționale sunt legate de condiții atât necesare cât și suficiente. Luați în considerare afirmația „dacă astăzi este Paște, atunci mâine este luni.” Astăzi, pentru a fi Paște este suficient ca mâine să fie luni, totuși, nu este necesar. Astăzi ar putea fi orice duminică în afară de Paște, iar mâine ar mai fi luni.

Abreviere

Expresia „dacă și numai dacă” este folosită destul de frecvent în scrierea matematică încât are propria abreviere. Uneori, bicondiționarea din enunțul expresiei „dacă și numai dacă” este scurtată la „simplu”. Astfel, afirmația „P dacă și numai dacă Q” devine „P iff Q.”