Introducere în matematica vectorială

Aceasta este o introducere de bază, deși sperăm destul de cuprinzătoare, pentru a lucra cu vectori Vectorii se manifestă într-o mare varietate de moduri de la deplasare, viteză și accelerație la forțe și câmpuri. Acest articol este dedicat matematicii vectorilor; aplicarea lor în situații specifice va fi abordată în altă parte.

Vectori și scalari

A cantitatea vectorială, sau vector, oferă informații despre nu numai mărimea, ci și direcția cantității. Atunci când dați indicații către o casă, nu este suficient să spuneți că este la 10 mile distanță, dar direcția acelor 10 mile trebuie să fie furnizată și pentru ca informațiile să fie utile. Variabilele care sunt vectori vor fi indicate cu o variabilă cu caractere aldine, deși este obișnuit să vezi vectorii notate cu săgeți mici deasupra variabilei.

La fel cum nu spunem că cealaltă casă se află la o distanță de 10 km, mărimea unui vector este întotdeauna un număr pozitiv, sau mai degrabă valoarea absolută a „lungimii” vectorului (deși cantitatea nu poate fi o lungime, poate fi o viteză, accelerație, forță etc.) Un negativ în fața unui vector nu indică o schimbare a mărimii, ci mai degrabă în direcția vectorului.

În exemplele de mai sus, distanța este cantitatea scalară (10 mile), dar deplasare este cantitatea vectorială (10 mile spre nord-est). În mod similar, viteza este o cantitate scalară în timp ce viteza este o cantitate vectorială.

A vector unitar este un vector care are o magnitudine de unu. De asemenea, un vector care reprezintă un vector de unitate este de obicei bold, deși va avea un carat (^) deasupra acesteia pentru a indica natura unității a variabilei. Vectorul unității X, atunci când este scris cu un karat, este în general citit ca "x-hat", deoarece carat arata ca o pălărie pe variabilă.

vector zero, sau vector nul, este un vector cu o magnitudine de zero. Este scris ca 0 în acest articol.

Componente vectoriale

Vectorii sunt, în general, orientați pe un sistem de coordonate, cel mai popular fiind planul cartezian bidimensional. Planul cartezian are o axă orizontală etichetată x și o axă verticală etichetată y. Unele aplicații avansate ale vectorilor în fizică necesită utilizarea unui spațiu tridimensional, în care axele sunt x, y și z. Acest articol se va ocupa mai ales de sistemul bidimensional, deși conceptele pot fi extinse cu o anumită atenție până la trei dimensiuni fără prea multe probleme.

Vectoarele din sistemele de coordonate cu dimensiuni multiple pot fi împărțite în vectori componenți. În cazul bidimensional, aceasta rezultă în x-component și a y-component. Când spargeți un vector în componentele sale, vectorul este o sumă a componentelor:

F = F_X + F_y

tetaF_XF_yF

F_X / F = cos teta și F_y / F = păcat tetaceea ce ne dă
F_X = F cos teta și F_y = F păcat teta

Rețineți că numerele de aici sunt mărimile vectorilor. Cunoaștem direcția componentelor, dar încercăm să le găsim amploarea, așa că eliminăm informațiile direcționale și efectuăm aceste calcule scalare pentru a descoperi amploarea. O altă aplicare a trigonometriei poate fi folosită pentru a găsi alte relații (cum ar fi tangenta) care se referă între unele dintre aceste cantități, dar cred că este suficient pentru moment.

Mulți ani, singura matematică pe care o învață un student este matematica scalară. Dacă călătoriți 5 mile nord și 5 mile est, ați parcurs 10 mile. Adăugarea de cantități scalare ignoră toate informațiile despre direcții.

Vectoarele sunt manipulate oarecum diferit. Direcția trebuie întotdeauna luată în considerare la manipularea lor.

Adăugarea de componente

Când adăugați doi vectori, este ca și cum ați luat vectorii și i-ați așezat de la capăt la capăt și ați creat un nou vector care rulează de la punctul de plecare la punctul final. Dacă vectorii au aceeași direcție, atunci asta înseamnă doar adăugarea mărimilor, dar dacă au direcții diferite, poate deveni mai complex.