Regula de multiplicare pentru evenimente independente

Este important să știți cum să calculați probabilitatea unui eveniment. Anumite tipuri de evenimente probabile sunt denumite independente. Când avem o pereche de evenimente independente, uneori ne putem întreba: „Care este probabilitatea ca ambele evenimente să aibă loc?” În această situație, pur și simplu putem multiplica cele două probabilități împreună.

Vom vedea cum se utilizează regula multiplicării pentru evenimente independente. Dupa ce am trecut de baza, vom vedea detaliile a cateva calcule.

Definiția evenimentelor independente

Începem cu o definiție a evenimentelor independente. Probabil, două evenimente sunt independente dacă rezultatul unui eveniment nu influențează rezultatul celui de-al doilea eveniment.

Un bun exemplu de pereche de evenimente independente este atunci când aruncăm o matriță și apoi aruncăm o monedă. Numărul afișat pe matriță nu are niciun efect asupra monedei care a fost aruncată. Prin urmare, aceste două evenimente sunt independente.

Un exemplu de pereche de evenimente care nu sunt independente ar fi genul fiecărui copil într-un set de gemeni. Dacă gemenii sunt identici, atunci amândoi vor fi bărbați sau ambii ar fi femei.

Declarație a regulii de înmulțire

Regula de înmulțire a evenimentelor independente face legătura între probabilitățile a două evenimente și probabilitatea ca acestea să apară. Pentru a folosi regula, trebuie să avem probabilitățile fiecăruia dintre evenimentele independente. Având în vedere aceste evenimente, regula de înmulțire afirmă că probabilitatea de a se produce ambele evenimente se găsește prin înmulțirea probabilităților fiecărui eveniment.

Formula pentru regula înmulțirii

Regula de înmulțire este mult mai ușor de declarat și de lucrat atunci când folosim notația matematică.

Notează evenimente A și B și probabilitățile fiecăruia P (A) și P (B). Dacă A și B sunt evenimente independente, apoi:

P (A și B) = P (A) X P (B)

Unele versiuni ale acestei formule folosesc și mai multe simboluri. În locul cuvântului „și” putem folosi în schimb simbolul de intersecție: ∩. Uneori, această formulă este utilizată ca definiție a evenimentelor independente. Evenimentele sunt independente dacă și numai dacă P (A și B) = P (A) X P (B).

Exemplul # 1 al utilizării regulii de înmulțire

Vom vedea cum se utilizează regula înmulțirii, analizând câteva exemple. Mai întâi să presupunem că aruncăm o matriță cu șase fețe și apoi aruncăm o monedă. Aceste două evenimente sunt independente. Probabilitatea de a rula un 1 este 1/6. Probabilitatea unui cap este de 1/2. Probabilitatea de a rula un 1 și obtinerea capului este 1/6 x 1/2 = 1/12.

Dacă am fi înclinați să fim sceptici cu privire la acest rezultat, acest exemplu este suficient de mic încât toate rezultatele ar putea fi enumerate: (1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, T), (3, T), (4, T), (5, T), (6, T). Vedem că există douăsprezece rezultate, toate fiind la fel de probabil să apară. Prin urmare, probabilitatea de 1 și un cap este de 1/12. Regula de înmulțire a fost mult mai eficientă, deoarece nu a necesitat să listăm întregul spațiu de probă.

Exemplul # 2 al utilizării regulii de înmulțire

Pentru al doilea exemplu, să presupunem că tragem o carte dintr-o punte standard, înlocuim această carte, amestecăm puntea și apoi desenăm din nou. Ne întrebăm atunci care este probabilitatea ca ambele cărți să fie regi. Din moment ce am desenat cu înlocuirea, aceste evenimente sunt independente și se aplică regula înmulțirii. 

Probabilitatea de a atrage un rege pentru prima carte este 1/13. Probabilitatea de a atrage un rege pe a doua tragere este 1/13. Motivul pentru aceasta este că îl înlocuim pe regele pe care l-am desenat din prima dată. Deoarece aceste evenimente sunt independente, folosim regula multiplicării pentru a vedea că probabilitatea de a atrage doi regi este dată de următorul produs 1/13 x 1/13 = 1/169.