Probabilități pentru rularea a doi zaruri
Share
Un mod popular de a studia probabilitatea este de a rula zaruri. O matriță standard are șase fețe tipărite cu puncte mici care numără 1, 2, 3, 4, 5 și 6. Dacă matrița este corectă (și vom presupune că toate sunt), atunci fiecare dintre aceste rezultate este la fel de probabil. Deoarece există șase rezultate posibile, probabilitatea obținerii oricărei laturi a matriței este 1/6. Probabilitatea de a rula un 1 este 1/6, probabilitatea de a rula un 2 este 1/6 și așa mai departe. Dar ce se întâmplă dacă adăugăm o altă matriță? Care sunt probabilitățile de a arunca două zaruri?
Probabilitatea rulării zarurilor
Pentru a determina corect probabilitatea unei rulouri de zaruri, trebuie să știm două lucruri:
- Mărimea spațiului eșantionului sau setul de rezultate totale posibile
- Cât de des are loc un eveniment
În probabilitate, un eveniment este un anumit subset al spațiului de probă. De exemplu, când o singură matriță este rulată, ca în exemplul de mai sus, spațiul probei este egal cu toate valorile de pe matriță sau setul (1, 2, 3, 4, 5, 6). Deoarece matrița este corectă, fiecare număr din set apare o singură dată. Cu alte cuvinte, frecvența fiecărui număr este 1. Pentru a determina probabilitatea de a rula oricare dintre numere pe matriță, împărțim frecvența evenimentului (1) la dimensiunea spațiului probei (6), rezultând o probabilitate din 1/6.
Rularea a două zaruri corecte mai mult decât dublează dificultatea calculării probabilităților. Acest lucru se datorează faptului că rularea unei matrițe este independentă de rularea unei a doua. Un sul nu are efect asupra celuilalt. Atunci când avem de-a face cu evenimente independente, folosim regula multiplicării. Utilizarea unei diagrame de arbori demonstrează că există 6 x 6 = 36 rezultate posibile din rularea a două zaruri.
Să presupunem că prima matriță pe care o rulăm apare ca 1. 1. Cealaltă matriță poate fi una, 2, 3, 4, 5 sau 6. Acum să presupunem că prima matriță este o 2. Cealaltă matriță din nou ar putea fi a 1, 2, 3, 4, 5 sau 6. Am găsit deja 12 rezultate potențiale și încă nu am epuizat toate posibilitățile primei matrițe.
Tabelul de probabilitate de doi zaruri
Rezultatele posibile ale rulării a două zaruri sunt reprezentate în tabelul de mai jos. Rețineți că numărul rezultatelor totale posibile este egal cu spațiul de eșantion al primei matrițe (6) înmulțit cu spațiul de eșantion al celei de-a doua matrițe (6), care este de 36.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (1, 1) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (1, 5) | (1, 6) |
| 2 | (2, 1) | (2, 2) | (2, 3) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3, 4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (4, 5) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Trei sau mai mulți zaruri
Același principiu se aplică dacă lucrăm la probleme care implică trei zaruri. Înmulțim și vedem că există 6 x 6 x 6 = 216 rezultate posibile. Deoarece devine dificil să scriem înmulțirea repetată, putem folosi exponenți pentru a simplifica munca. Pentru două zaruri, există 6 ^ 2 rezultate posibile. Pentru trei zaruri, există 6 ^ 3 rezultate posibile. În general, dacă rulăm n zaruri, apoi sunt în total 6 ^n rezultate posibile.
Probleme de eșantion
Cu aceste cunoștințe, putem rezolva tot felul de probleme de probabilitate:
1. Două zaruri cu șase fețe sunt rulate. Care este probabilitatea ca suma celor două zaruri să fie de șapte?
Cel mai simplu mod de a rezolva această problemă este să consultați tabelul de mai sus. Veți observa că în fiecare rând există un sul de zaruri în care suma celor două zaruri este egală cu șapte. Deoarece există șase rânduri, există șase rezultate posibile în care suma celor două zaruri este egală cu șapte. Numărul total de rezultate posibile rămâne 36. Din nou, găsim probabilitatea împărțind frecvența evenimentului (6) la dimensiunea spațiului probei (36), rezultând o probabilitate de 1/6.
2. Două zaruri cu șase fețe sunt rulate. Care este probabilitatea ca suma celor două zaruri să fie de trei?
În problema anterioară, este posibil să fi observat că celulele în care suma celor două zaruri este egală cu șapte formează o diagonală. Același lucru este valabil aici, cu excepția cazului în care există doar două celule în care suma zarurilor este de trei. Acest lucru se datorează faptului că există doar două moduri de a obține acest rezultat. Trebuie să rostogoliți un 1 și un 2 sau trebuie să rulați un 2 și un 1. Combinațiile pentru rularea unei sume de șapte sunt mult mai mari (1 și 6, 2 și 5, 3 și 4, etc.). Pentru a afla probabilitatea ca suma celor două zaruri să fie trei, putem împărți frecvența evenimentului (2) la dimensiunea spațiului probei (36), rezultând o probabilitate de 1/18.
3. Două zaruri cu șase fețe sunt rulate. Care este probabilitatea ca numerele de pe zar să fie diferite?
Din nou, putem rezolva cu ușurință această problemă consultând tabelul de mai sus. Veți observa că celulele în care numerele de pe zar sunt aceleași formează o diagonală. Există doar șase dintre ele și, odată ce le traversăm, avem celulele rămase în care numerele de pe zar sunt diferite. Putem lua numărul de combinații (30) și să îl împărțim la dimensiunea spațiului probei (36), rezultând o probabilitate de 5/6.
