Probabilități în monopolul jocului

Monopolul este un joc de masă în care jucătorii ajung să pună în funcțiune capitalismul. Jucătorii cumpără și vând proprietăți și își taxează reciproc chiria. Deși există porțiuni sociale și strategice ale jocului, jucătorii își mută piesele în jurul tablei rulând două zaruri standard pe șase fețe. Deoarece acest lucru controlează modul în care jucătorii se mișcă, există și un aspect de probabilitate a jocului. Cunoscând doar câteva fapte, putem calcula cât de probabil este să aterizăm pe anumite spații în primele două viraje la începutul jocului.

Zarurile

La fiecare tura, un jucător aruncă două zaruri și apoi își mută bucata pe care o are multe spații pe tablă. Așadar, este util să revizuiți probabilitățile de a arunca două zaruri. În rezumat, sunt posibile următoarele sume:

• O sumă de doi are probabilitatea 1/36.
• O sumă de trei are probabilitatea 2/36.
• O sumă de patru are probabilitatea 3/36.
• O sumă de cinci are probabilitatea 4/36.
• O sumă de șase are probabilitatea 5/36.
• O sumă de șapte are probabilitatea 6/36.
• O sumă de opt are probabilitatea 5/36.
• O sumă de nouă are probabilitatea 4/36.
• O sumă de zece are probabilitatea 3/36.
• O sumă de unsprezece are probabilitatea 2/36.
• O sumă de doisprezece are probabilitatea 1/36.

Aceste probabilități vor fi foarte importante pe măsură ce vom continua.

Placa de joc Monopoly

De asemenea, trebuie să luăm notă de tabla de joc Monopoly. Există un total de 40 de spații în jurul gameboard-ului, cu 28 din aceste proprietăți, căi ferate sau utilități care pot fi achiziționate. Șase spații implică extragerea unei cărți din grămăjoarea „Chance” sau „Community Chest”. Trei spații sunt spații libere în care nu se întâmplă nimic. Două spații care implică plata impozitelor: fie impozit pe venit, fie impozit pe lux. Un spațiu trimite jucătorul în închisoare.

Vom lua în considerare doar primele două rânduri ale unui joc Monopoly. Pe parcursul acestor viraje, cel mai îndepărtat pe care l-am putea înconjura pe tablă este să rulăm douăsprezece de ori și să mutăm un total de 24 de spații. Așadar, vom examina doar primele 24 de spații de pe tablă. În ordine, aceste spații sunt:

1. Bulevardul Mediteranei
2. Cufarul comunitatii
3. Bulevardul Baltic
4. Impozit pe venit
5. Citirea căii ferate
6. Bulevardul Oriental
7. Şansă
8. Bulevardul Vermont
9. Impozitul Connecticut
10. Doar în vizită la închisoare
11. Locul Sf. Iacob
12. Companie electrică
13. Avenue Avenue
14. Virginia Avenue
15. Căi Ferate Pennsylvania
16. Locul Sf. Iacob
17. Cufarul comunitatii
18. Avenue Tennessee
19. New York Avenue
20. Parcare liberă
21. Kentucky Avenue
22. Şansă
23. Indiana Avenue
24. Avenue Avenue

Prima tura

Prima rotație este relativ simplă. Întrucât avem probabilități să rostogolim două zaruri, le potrivim pur și simplu cu pătratele corespunzătoare. De exemplu, cel de-al doilea spațiu este un pătrat al pieptului comunitar și există o probabilitate de 1/36 de a rula o sumă de două. Astfel, există o probabilitate de 1/36 de aterizare pe pieptul comunitar la prima tura.

Mai jos sunt probabilitățile de aterizare pe următoarele spații la prima tura:

• Pieptul comunitar - 1/36
• Balta Baltică - 2/36
• Impozitul pe venit - 3/36
• Calea ferată de lectură - 4/36
• Bulevardul Oriental - 5/36
• Șansă - 6/36
• Bulevardul Vermont - 5/36
• Connecticut Tax - 4/36
• Doar în vizită la închisoare - 3/36
• Locul Sf. Iacob - 2/36
• Compania electrică - 1/36

Al doilea rând

Calcularea probabilităților pentru a doua rundă este ceva mai dificilă. Putem rula un total de două pe ambele viraje și putem parcurge un minimum de patru spații, sau un total de 12 pe ambele viraje și putem merge maxim 24 de spații. Se pot ajunge și la orice spații între patru și 24. Dar acestea pot fi realizate în moduri diferite. De exemplu, am putea muta în total șapte spații mutând oricare dintre următoarele combinații:

• Două spații pe primul viraj și cinci spații pe a doua tura
• Trei spații pe primul viraj și patru spații pe a doua tura
• Patru spații pe primul viraj și trei spații pe a doua tura
• Cinci spații la primul viraj și două spații la a doua tura

Trebuie să luăm în considerare toate aceste posibilități atunci când calculăm probabilitățile. Aruncările fiecărei ture sunt independente de aruncarea următoarei ture. Deci nu trebuie să ne facem griji pentru probabilitatea condiționată, ci trebuie doar să înmulțim fiecare dintre probabilități:

• Probabilitatea de a rula un doi și apoi un cinci este (1/36) x (4/36) = 4/1296.
• Probabilitatea de a rula un trei și apoi un patru este (2/36) x (3/36) = 6/1296.
• Probabilitatea de a rula un patru și apoi un trei este (3/36) x (2/36) = 6/1296.
• Probabilitatea de a rula un cinci și apoi un doi este (4/36) x (1/36) = 4/1296.

Regula de adăugare reciprocă excluzivă

Alte probabilități pentru două ture sunt calculate în același mod. Pentru fiecare caz, trebuie doar să descoperim toate modalitățile posibile de a obține o sumă totală corespunzătoare acelui pătrat al tablei de joc. Mai jos sunt probabilitățile (rotunjite la cea mai apropiată sută la sută) de aterizare pe următoarele spații la prima tura:

• Impozitul pe venit - 0,08%
• Căile ferate de lectură - 0,31%
• Bulevardul Oriental - 0,77%
• Șansă - 1,54%
• Bulevardul Vermont - 2,70%
• Taxa Connecticut - 4,32%
• Doar în vizită la închisoare - 6,17%
• Locul St. James - 8,02%
• Companie electrică - 9,65%
• State Avenue - 10,80%
• Virginia Avenue - 11,27%
• Căi Ferate Pennsylvania - 10,80%
• Locul St. James - 9,65%
• Pieptul comunitar - 8,02%
• Avenue Tennessee 6,17%
• New York Avenue 4,32%
• Parcare gratuită - 2,70%
• Kentucky Avenue - 1,54%
• Șansă - 0.77%
• Indiana Avenue - 0.31%
• Avenue Avenue - 0,08%

Mai mult decât trei viraje

Pentru mai multe viraje, situația devine și mai dificilă. Un motiv este că în regulile jocului dacă rulăm se dublează de trei ori la rând mergem la închisoare. Această regulă ne va afecta probabilitățile în moduri pe care nu trebuiau să le luăm în considerare anterior. În plus față de această regulă, există efecte din șansa și cărțile comunitare în piept pe care nu le avem în vedere. Unele dintre aceste cărți îndreaptă jucătorii să sară peste spații și să meargă direct în spații particulare.

Datorită complexității computaționale sporite, devine mai ușor să calculăm probabilitățile pentru mai mult decât câteva rotații prin utilizarea metodelor Monte Carlo. Calculatoarele pot simula sute de mii, dacă nu milioane de jocuri de Monopoly, iar probabilitățile de aterizare pe fiecare spațiu pot fi calculate empiric din aceste jocuri.