Probabilitatea unui drept drept mic în Yahtzee într-o singură rolă

Yahtzee este un joc de zaruri care folosește cinci zaruri standard cu șase fețe. La fiecare tură, jucătorilor li se oferă trei roluri pentru a obține mai multe obiective diferite. După fiecare rolă, un jucător poate decide care dintre zaruri (dacă există) vor fi păstrate și care vor fi redate. Obiectivele includ o varietate de tipuri diferite de combinații, multe dintre ele fiind luate din poker. Fiecare combinație diferită valorează o cantitate diferită de puncte.

Două dintre tipurile de combinații pe care jucătorii trebuie să le deruleze se numesc drept: o dreaptă mică și o dreaptă mare. Ca și drepturile de poker, aceste combinații constau din zaruri secvențiale. Drepturile mici folosesc patru din cele cinci zaruri, iar drepturile mari folosesc toate cele cinci zaruri. Datorită aleatoriei rostogolirii zarurilor, probabilitatea poate fi utilizată pentru a analiza cât de probabil este să rolați o dreaptă mică într-o singură rolă.

Ipoteze

Presupunem că zarurile folosite sunt corecte și independente unele de altele. Astfel, există un spațiu de probă uniform format din toate rulourile posibile ale celor cinci zaruri. Deși Yahtzee permite trei role, pentru simplitate, vom lua în considerare doar cazul în care obținem o dreaptă mică într-o singură rolă.

Spațiu de probă

Deoarece lucrăm cu un spațiu de probă uniform, calculul probabilității noastre devine un calcul al câtorva probleme de numărare. Probabilitatea unei drepte mici este numărul de modalități de a roti o dreaptă mică, împărțită la numărul de rezultate în spațiul de probă..

Este foarte ușor să numărați rezultatele în spațiul de probă. Rulăm cinci zaruri și fiecare dintre aceste zaruri poate avea unul dintre șase rezultate diferite. O aplicație de bază a principiului înmulțirii ne spune că spațiul probei are 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 rezultate. Acest număr va fi numitorul fracțiilor pe care le folosim pentru probabilitatea noastră.

Numărul de drepturi

În continuare, trebuie să știm câte modalități există pentru a rula o dreaptă mică. Acest lucru este mai dificil decât calcularea dimensiunii spațiului probei. Începem prin a număra câte drepte sunt posibile.

O dreaptă mică este mai ușor de rostogolit decât o dreaptă mare, cu toate acestea, este mai greu de numărat numărul de moduri de rulare a acestui tip de drept. Un drept mic este format din exact patru numere secvențiale. Deoarece există șase fețe diferite ale matriței, există trei mici drepturi posibile: 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 5 și 3, 4, 5, 6. Dificultatea apare în a lua în considerare ce se întâmplă cu a cincea moarte. În fiecare dintre aceste cazuri, cea de-a cincea matriță trebuie să fie un număr care nu creează un drept mare. De exemplu, dacă primele patru zaruri au fost 1, 2, 3 și 4, a cincea matriță ar putea fi altceva decât 5. Dacă a cincea matriță ar fi un 5, atunci am avea o dreaptă mare, mai degrabă decât o dreaptă mică.

Aceasta înseamnă că există cinci rulouri posibile care dau dreptului mic 1, 2, 3, 4, cinci role posibile care dau dreptului mic 3, 4, 5, 6 și patru role posibile care dau dreptului mic 2, 3, 4, 5. Acest ultim caz este diferit, deoarece rularea unui 1 sau 6 pentru a cincea matriță se va schimba 2, 3, 4, 5 într-o linie mare. Aceasta înseamnă că există 14 moduri diferite prin care cinci zaruri ne pot oferi o mică dreaptă.

Acum determinăm numărul diferit de moduri de a rula un anumit set de zaruri care ne oferă un drept. Întrucât nu trebuie decât să știm câte modalități există pentru a face acest lucru, putem folosi câteva tehnici de bază de numărare.

Din cele 14 modalități distincte de a obține drepte mici, doar două dintre aceste 1,2,3,4,6 și 1,3,4,5,6 sunt seturi cu elemente distincte. Sunt 5! = 120 moduri de a rula fiecare pentru un total de 2 x 5! = 240 de drepturi mici.

Celelalte 12 modalități de a avea o dreaptă mică sunt multiseturi tehnice, deoarece toate conțin un element repetat. Pentru un set multiset special, cum ar fi [1,1,2,3,4], vom număra câteva moduri diferite de a derula acest lucru. Gândiți-vă la zaruri ca la cinci poziții la rând:

• Există C (5,2) = 10 moduri de a poziționa cele două elemente repetate între cele cinci zaruri.
• Sunt 3! = 6 moduri de a aranja cele trei elemente distincte.

După principiul înmulțirii, există 6 x 10 = 60 moduri diferite de a rula zarurile 1,1,2,3,4 într-o singură rolă.

Există 60 de moduri de a rostogoli o dreaptă atât de mică cu această a cincea matriță. Deoarece există 12 multisete care oferă o listă diferită de cinci zaruri, există 60 x 12 = 720 moduri de a rula o dreaptă mică în care se potrivesc două zaruri.

În total sunt 2 x 5! + 12 x 60 = 960 moduri de a roti o dreaptă mică.