Probabilitatea unirii a 3 sau mai multe seturi

Când două evenimente se exclud reciproc, probabilitatea unirii lor poate fi calculată cu regula adăugării. Știm că pentru rularea matriței, rularea unui număr mai mare de patru sau a unui număr mai mic de trei sunt evenimente care se exclud reciproc, fără nimic în comun. Așadar, pentru a găsi probabilitatea acestui eveniment, adăugăm pur și simplu probabilitatea de a rula un număr mai mare de patru la probabilitatea ca noi să rulăm un număr mai mic de trei. În simboluri, avem următoarele, unde este capitalul P denumește „probabilitatea de”:

P(mai mare de patru sau mai puțin de trei) = P(mai mare de patru) + P(mai puțin de trei) = 2/6 + 2/6 = 4/6.

Dacă evenimentele sunt nu se exclud reciproc, atunci nu adăugăm pur și simplu probabilitățile evenimentelor, ci trebuie să restrângem probabilitatea intersecției evenimentelor. Având în vedere evenimentele A și B:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).

Aici avem în vedere posibilitatea de a număra dublu acele elemente care sunt în ambele A și B, și de aceea scădem probabilitatea intersecției.

Întrebarea care rezultă din aceasta este: „De ce să ne oprim cu două seturi? Care este probabilitatea unirii a mai mult de două seturi? "

Formula pentru unirea a 3 seturi

Vom extinde ideile de mai sus la situația în care avem trei seturi, pe care le vom denota A, B, și C. Nu vom asuma nimic mai mult decât atât, așa că există posibilitatea ca seturile să aibă o intersecție ne-goală. Scopul va fi calcularea probabilității unirii acestor trei seturi sau P (A U B U C).

Discuția de mai sus are loc pentru două seturi. Putem adăuga împreună probabilitățile seturilor individuale A, B, și C, dar în acest sens, avem două elemente numărate.

Elementele din intersecția din A și B au fost dublate contorizate ca înainte, dar acum există alte elemente care au fost potențial numărate de două ori. Elementele din intersecția din A și C iar în intersecția din B și C acum au fost numărate și de două ori. Așadar, probabilitățile acestor intersecții trebuie scăzute.

Dar am scăzut prea mult? Există ceva nou de luat în considerare că nu trebuie să ne preocupăm când nu existau decât două seturi. La fel cum orice două seturi pot avea o intersecție, toate cele trei seturi pot avea și o intersecție. Încercând să ne asigurăm că nu am numărat dublu nimic, nu am numărat deloc acele elemente care apar în toate cele trei seturi. Deci, probabilitatea intersecției celor trei seturi trebuie adăugată din nou.

Iată formula care este derivată din discuția de mai sus:

P (A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Exemplu care implică 2 zaruri

Pentru a vedea formula pentru probabilitatea unirii a trei seturi, să presupunem că jucăm un joc de masă care implică rularea a două zaruri. Datorită regulilor jocului, trebuie să obținem cel puțin unul dintre morți pentru a fi doi, trei sau patru pentru a câștiga. Care este probabilitatea acestui lucru? Observăm că încercăm să calculăm probabilitatea unirii a trei evenimente: rularea a cel puțin unu două, rularea a cel puțin unu trei, rularea a cel puțin unu patru. Deci, putem folosi formula de mai sus cu următoarele probabilități:

• Probabilitatea rulării unui doi este 11/36. Numerotatorul de aici provine de la faptul că există șase rezultate în care prima matriță este două, șase în care a doua matriță este două, și un rezultat în care ambele zaruri sunt două. Acest lucru ne oferă 6 + 6 - 1 = 11.
• Probabilitatea rulării unui trei este 11/36, din același motiv ca mai sus.
• Probabilitatea rulării unui patru este 11/36, din același motiv ca mai sus.
• Probabilitatea de a rula doi și trei este 2/36. Aici putem enumera pur și simplu posibilitățile, cele două ar putea veni pe primul loc sau ar putea veni pe locul doi.
• Probabilitatea de a rula doi și patru este 2/36, pentru același motiv că probabilitatea de doi și trei este de 2/36.
• Probabilitatea de a rula doi, trei și patru este 0, deoarece rulăm doar două zaruri și nu există nicio modalitate de a obține trei numere cu două zaruri.

Folosim acum formula și vedem că probabilitatea de a obține cel puțin un doi, un trei sau un patru este

11/36 + 11/36 + 11/36 - 2/36 - 2/36 - 2/36 + 0 = 27/36.

Formula pentru probabilitatea unirii a 4 seturi

Motivul pentru care formula pentru probabilitatea unirii a patru seturi are forma sa este similară cu raționamentul formulei pentru trei seturi. Pe măsură ce numărul de seturi crește, numărul perechilor, triplelor și așa mai departe crește. Cu patru seturi, există șase intersecții în perechi care trebuie scăzute, patru intersecții triple pentru a se adăuga înapoi, iar acum o intersecție cvadruplă care trebuie scăzută. Dat fiind patru seturi A, B, C și D, formula unirii acestor seturi este următoarea:

P (A U B U C U D) = P(A) + P(B) + P(C) +P(D) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(A ∩ D)- P(B ∩ C) - P(B ∩ D) - P(C ∩ D) + P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ D) + P(A ∩ C ∩ D) + P(B ∩ C ∩ D) - P(A ∩ B ∩ C ∩ D).

Model general

Am putea scrie formule (care ar părea chiar mai înfricoșătoare decât cea de mai sus) pentru probabilitatea unirii a mai mult de patru seturi, dar din studiul formulelor de mai sus ar trebui să observăm câteva tipare. Aceste modele mențin pentru a calcula uniunile de mai mult de patru seturi. Probabilitatea unirii oricărui număr de seturi poate fi găsită după cum urmează:

1. Adăugați probabilitățile evenimentelor individuale.
2. Reduceți probabilitățile intersecțiilor fiecărei perechi de evenimente.
3. Adăugați probabilitatea de intersecție a fiecărui set de trei evenimente.
4. Reduceți probabilitățile de intersecție a fiecărui set de patru evenimente.
5. Continuați acest proces până când ultima probabilitate este probabilitatea intersecției numărului total de seturi cu care am început.