Probabilitatea unei case complete în Yahtzee într-un singur rol

Jocul lui Yahtzee implică utilizarea a cinci zaruri standard. La fiecare tură, jucătorilor li se acordă trei role. După fiecare rolă, orice număr de zaruri poate fi păstrat, cu scopul de a obține combinații speciale ale acestor zaruri. Fiecare combinație diferită valorează o cantitate diferită de puncte.

Unul dintre aceste tipuri de combinații se numește casă completă. Ca o casă plină în jocul de poker, această combinație include trei dintr-un anumit număr, împreună cu o pereche de un număr diferit. Deoarece Yahtzee implică rularea aleatorie a zarurilor, acest joc poate fi analizat folosind probabilitatea de a determina cât de probabil este să rolați o casă completă într-o singură rolă.

Ipoteze

Vom începe prin a ne declara presupunerile. Presupunem că zarurile folosite sunt corecte și independente unele de altele. Aceasta înseamnă că avem un spațiu de probă uniform format din toate rulourile posibile ale celor cinci zaruri. Deși jocul lui Yahtzee permite trei role, vom lua în considerare doar cazul în care obținem o casă completă într-un singur rol.

Spațiu de probă

Deoarece lucrăm cu un spațiu de probă uniform, calculul probabilității noastre devine un calcul al câtorva probleme de numărare. Probabilitatea unei case complete este numărul de modalități de rulare a unei case complete, împărțit la numărul de rezultate în spațiul de probă..

Numărul rezultatelor din spațiul eșantionului este simplu. Deoarece există cinci zaruri și fiecare dintre aceste zaruri poate avea unul dintre șase rezultate diferite, numărul rezultatelor în spațiul eșantionului este 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Număr de case complete

În continuare, calculăm numărul de moduri de a rula o casă completă. Aceasta este o problemă mai dificilă. Pentru a avea o casă completă, avem nevoie de trei dintr-un fel de zaruri, urmate de o pereche de zaruri diferite. Vom împărți această problemă în două părți:

• Care este numărul diferitelor tipuri de case pline care ar putea fi rulate?
• Care este numărul de modalități prin care un anumit tip de casă completă ar putea fi rulat?

După ce cunoaștem numărul pentru fiecare dintre acestea, le putem înmulți împreună pentru a ne oferi numărul total de case pline care pot fi rulate.

Începem prin a privi numărul diferitelor tipuri de case pline care pot fi rulate. Oricare dintre numerele 1, 2, 3, 4, 5 sau 6 pot fi utilizate pentru cele trei tipuri. Există cinci numere rămase pentru pereche. Astfel, există 6 x 5 = 30 tipuri diferite de combinații întregi care pot fi rulate.

De exemplu, am putea avea 5, 5, 5, 2, 2 ca un tip de casă completă. Un alt tip de casă completă ar fi 4, 4, 4, 1, 1. Un altul ar fi 1, 1, 4, 4, 4, care este diferit de casa completă precedentă, deoarece rolurile celor patru și al celor au fost schimbate.

Acum determinăm numărul diferit de moduri de a rula o anumită casă completă. De exemplu, fiecare dintre următoarele ne oferă aceeași casă completă de trei patru și două:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Vedem că există cel puțin cinci moduri de a rula o anumită casă completă. Există alții? Chiar dacă continuăm să enumerăm alte posibilități, de unde știm că le-am găsit pe toate?

Cheia pentru a răspunde la aceste întrebări este să ne dăm seama că avem de-a face cu o problemă de numărare și de a determina cu ce tip de problemă de numărare lucrăm. Există cinci poziții, iar trei dintre acestea trebuie completate cu un patru. Ordinea în care ne așezăm patru nu contează atâta timp cât sunt ocupate pozițiile exacte. Odată ce poziția celor patru a fost determinată, plasarea celor este automată. Din aceste motive, trebuie să luăm în considerare combinația de cinci poziții luate câte trei.

Folosim formula combinată pentru a obține C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Aceasta înseamnă că există 10 moduri diferite de a rula o casă completă dată.