Probabilitatea unei drepte mari în Yahtzee într-o singură rolă

Yahtzee este un joc de zaruri care folosește cinci zaruri standard cu șase fețe. La fiecare tură, jucătorilor li se oferă trei roluri pentru a obține mai multe obiective diferite. După fiecare rolă, un jucător poate decide care dintre zaruri (dacă există) trebuie păstrate și care trebuie să fie redate. Obiectivele includ o varietate de tipuri diferite de combinații, multe dintre ele fiind luate din poker. Fiecare combinație diferită valorează o cantitate diferită de puncte.

Două dintre tipurile de combinații pe care jucătorii trebuie să le deruleze se numesc drept: o dreaptă mică și o dreaptă mare. Ca și drepturile de poker, aceste combinații constau din zaruri secvențiale. Drepturile mici folosesc patru din cele cinci zaruri, iar drepturile mari folosesc toate cele cinci zaruri. Datorită aleatoriei rulării zarurilor, probabilitatea poate fi utilizată pentru a analiza cât de probabil este să rolați o dreaptă mare într-o singură rolă.

Ipoteze

Presupunem că zarurile folosite sunt corecte și independente unele de altele. Astfel, există un spațiu de probă uniform format din toate rulourile posibile ale celor cinci zaruri. Deși Yahtzee permite trei role, pentru simplitate, vom lua în considerare doar cazul în care obținem o dreaptă mare într-o singură rolă.

Spațiu de probă

Deoarece lucrăm cu un spațiu de probă uniform, calculul probabilității noastre devine un calcul al câtorva probleme de numărare. Probabilitatea unei drepte este numărul de modalități de a rula o dreaptă, împărțit la numărul de rezultate în spațiul de probă.

Este foarte ușor să numărați rezultatele în spațiul de probă. Rulăm cinci zaruri și fiecare dintre aceste zaruri poate avea unul dintre șase rezultate diferite. O aplicație de bază a principiului înmulțirii ne spune că spațiul probei are 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776 rezultate. Acest număr va fi numitorul tuturor fracțiilor pe care le folosim pentru probabilitățile noastre.

Numărul de drepturi

În continuare, trebuie să știm câte modalități există pentru a rula un drept mare. Acest lucru este mai dificil decât calcularea dimensiunii spațiului probei. Motivul pentru care acest lucru este mai greu este pentru că există mai multă subtilitate în modul în care socotim.

O dreaptă mare este mai greu de rostogolit decât o dreaptă mică, dar este mai ușor să socotești numărul de moduri de rulare a unei drepte mari decât numărul de moduri de rulare a unei drepte mici. Acest tip de drept constă din cinci numere secvențiale. Deoarece pe zar există doar șase numere diferite, există doar două drepte mari posibile: 1, 2, 3, 4, 5 și 2, 3, 4, 5, 6.

Acum determinăm numărul diferit de moduri de a rula un anumit set de zaruri care ne oferă un drept. Pentru o dreaptă mare cu zarurile 1, 2, 3, 4, 5 putem avea zarurile în orice ordine. Deci, următoarele sunt moduri diferite de a rula aceeași dreaptă:

• 1, 2, 3, 4, 5
• 5, 4, 3, 2, 1
• 1, 3, 5, 2, 4

Ar fi anevoios să enumerăm toate modalitățile posibile de a obține un 1, 2, 3, 4 și 5. Deoarece trebuie doar să știm câte modalități există pentru a face acest lucru, putem folosi câteva tehnici de bază de numărare. Observăm că tot ce facem este să permită cele cinci zaruri. Sunt 5! = 120 moduri de a face acest lucru. Deoarece există două combinații de zaruri pentru a face o dreaptă mare și 120 de moduri de a rula fiecare dintre acestea, există 2 x 120 = 240 moduri de a rula o dreaptă mare.

Probabilitate

Acum, probabilitatea de a rula o dreaptă mare este un simplu calcul al diviziunii. Deoarece există 240 de moduri de a rula o dreaptă mare într-o singură rolă și sunt posibile 7776 de cinci zaruri, probabilitatea de a rula o dreaptă mare este de 240/7776, care este aproape de 1/32 și 3,1%.

Desigur, este mai probabil ca primul rol să nu fie drept. Dacă acesta este cazul, atunci ni se permit alte două role, făcând o dreaptă mult mai probabilă. Probabilitatea acestui lucru este mult mai complicată de determinat din cauza tuturor situațiilor posibile care ar trebui luate în considerare.