Probabilitatea de a arunca un Yahtzee

Yahtzee este un joc de zar care implică o combinație de șansă și strategie. Un jucător începe rândul său prin rularea a cinci zaruri. După această rolă, jucătorul poate decide să refacă orice număr de zaruri. Cel mult, există un număr de trei role pentru fiecare tura. După aceste trei rulouri, rezultatul zarurilor este înscris pe o foaie de scor. Această foaie de scor conține diferite categorii, cum ar fi o casă completă sau un drept mare. Fiecare dintre categorii este mulțumită de diferite combinații de zaruri.

Cea mai dificilă categorie de completare este cea a unui Yahtzee. Un Yahtzee apare atunci când un jucător rulează cinci din același număr. Cât de puțin probabil este un Yahtzee? Aceasta este o problemă care este mult mai complicată decât găsirea probabilităților pentru două sau chiar trei zaruri. Motivul principal este că există numeroase modalități de a obține cinci zaruri potrivite în timpul a trei rulouri.

Putem calcula probabilitatea de a rula un Yahtzee folosind formula combinatorică pentru combinații și rupând problema în mai multe cazuri care se exclud reciproc.

O rolă

Cel mai ușor caz de luat în seamă este obținerea unui Yahtzee imediat pe prima rolă. Vom analiza mai întâi probabilitatea de a rula un anumit Yahtzee de cinci jumătăți, apoi vom extinde cu ușurință acest lucru la probabilitatea oricărui Yahtzee.

Probabilitatea rulării unui doi este 1/6, iar rezultatul fiecărei matrițe este independent de restul. Astfel, probabilitatea de a rostogoli cinci două este (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. Probabilitatea de a rula cinci dintr-un fel de oricare alt număr este, de asemenea, 1/7776. Deoarece există un număr de șase numere diferite pe o matriță, înmulțim probabilitatea de mai sus cu 6.

Asta înseamnă că probabilitatea unui Yahtzee la primul rulou este de 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0.08 la sută.

Două role

Dacă rulăm altceva în afară de cinci dintr-un fel al primului rulou, va trebui să reculăm o parte din zarurile noastre pentru a încerca să obținem un Yahtzee. Să presupunem că prima noastră listă are patru de un fel. noi am reîncărca cea care nu se potrivește și apoi vom obține un Yahtzee în acest al doilea rol.

Probabilitatea de a rula un total de cinci două în acest mod se găsește după cum urmează:

1. Pe primul rol, avem patru două. Întrucât există o probabilitate 1/6 de a rula un doi, și 5/6 de a nu rula un doi, multiplicăm (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. Oricare din cele cinci zaruri rulate ar putea fi cele două. Folosim formula noastră de combinație pentru C (5, 1) = 5 pentru a număra câte moduri putem să rostogolim patru două și ceva care nu este două.
3. Înmulțim și vedem că probabilitatea de a rula exact patru două pe prima rolă este 25/7776.
4. Pe a doua rolă, trebuie să calculăm probabilitatea de a rula două. Acesta este 1/6. Astfel, probabilitatea de a rula un Yahtzee de două în modul de mai sus este (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Pentru a găsi probabilitatea de a rula orice Yahtzee în acest mod se găsește înmulțind probabilitatea de mai sus cu 6, deoarece există șase numere diferite pe o matriță. Acest lucru dă o probabilitate de 6 x 25/46656 = 0,32 la sută.

Dar aceasta nu este singura cale de a rula un Yahtzee cu două role. Toate probabilitățile următoare se găsesc în același mod ca mai sus:

• Am putea să rostogolim trei dintr-un fel și apoi două zaruri care se potrivesc pe al doilea rol. Probabilitatea este 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54 la sută.
• Am putea rula o pereche potrivită și pe a doua noastră rolă trei zaruri care se potrivesc. Probabilitatea este 6 x C (5,2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36 la sută.
• Am putea să rostogolim cinci zaruri diferite, să salvăm o matriță de la prima noastră rulare, apoi să rulăm patru zaruri care se potrivesc pe a doua rundă. Probabilitatea acestui lucru este (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 la sută.

Cazurile de mai sus se exclud reciproc. Aceasta înseamnă că pentru a calcula probabilitatea de a rula un Yahtzee în două role, adăugăm împreună probabilitățile de mai sus și avem aproximativ 1,23%.

Trei role

Pentru cea mai complicată situație, vom examina acum cazul în care folosim toate cele trei role pentru a obține un Yahtzee. Am putea face acest lucru în mai multe moduri și trebuie să facem cont de toate.

Probabilitățile acestor posibilități sunt calculate mai jos: