Utilizarea funcției de generare a momentului pentru distribuția binomială

Media și variația unei variabile aleatorii X cu o distribuție de probabilitate binomială poate fi dificil de calculat direct. Deși poate fi clar ce trebuie făcut în utilizarea definiției valorii așteptate a X și X², execuția reală a acestor pași este un jongler complicat de algebră și însumări. O modalitate alternativă de a determina media și variația unei distribuții binomiale este utilizarea funcției de generare a momentului pentru X.

Variabilă aleatorie binomială

Începeți cu variabila aleatorie X și descrieți mai exact distribuția probabilităților. A executa n procese independente Bernoulli, fiecare dintre ele având probabilitatea de succes p și probabilitatea eșecului 1 - p. Astfel funcția de masă a probabilității este

f (X) = C(n , X)p^X(1 - p)^{n - X}

Aici termenul C(n , X) indică numărul de combinații de n elemente luate X la un moment dat și X poate lua valorile 0, 1, 2, 3, ... , n.

Funcția generatoare de moment

Utilizați această masă de probabilitate pentru a obține funcția de generare a momentului X:

M(T) = Σ_{X = 0}ⁿ e^txC(n,X)>)p^X(1 - p)^{n - X}.

Devine clar că puteți combina termenii cu exponentul X:

M(T) = Σ_{X = 0}ⁿ (PE^T)^XC(n,X)>) (1 - p)^{n - X}.

Mai mult, prin utilizarea formulei binomiale, expresia de mai sus este pur și simplu:

M(T) = [(1 - p) + PE^T]ⁿ.

Calcularea mediei

Pentru a găsi media și variația, va trebui să le cunoașteți pe ambele M'(0) și M"(0). Începeți să calculați derivatele dvs., apoi evaluați fiecare dintre ele la T = 0.

Veți vedea că prima derivată a funcției de generare a momentului este:

M„(T) = n(PE^T) [(1 - p) + PE^T]^{n - 1}.

Din aceasta, puteți calcula media distribuției probabilităților. M(0) = n(PE⁰) [(1 - p) + PE⁰]^{n - 1} = np. Aceasta se potrivește expresiei pe care am obținut-o direct din definiția mediei.

Calculul variației

Calculul variației se realizează într-o manieră similară. Mai întâi, diferențiem din nou funcția generatoare de moment, apoi evaluăm acest derivat la T = 0. Aici veți vedea asta

M„(T) = n(n - 1) (PE^T)²[(1 - p) + PE^T]^{n - 2} + n(PE^T) [(1 - p) + PE^T]^{n - 1}.

Pentru a calcula variația acestei variabile aleatorii, trebuie să găsiți M„(T). Ai aici M"(0) = n(n - 1)p² +np. Varianța σ² din distribuția ta este

σ² = M"(0) - [M„(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Deși această metodă este oarecum implicată, nu este la fel de complicată ca calcularea mediei și a variației direct de funcția masei de probabilitate.