Utilizarea probabilității condiționale pentru a calcula probabilitatea de intersecție

Probabilitatea condiționată a unui eveniment este probabilitatea ca un eveniment A are loc având în vedere că un alt eveniment B s-a produs deja. Acest tip de probabilitate este calculat prin restrângerea spațiului de probă cu care lucrăm doar setul B.

Formula probabilității condiționale poate fi rescrisă folosind o algebră de bază. În locul formulei:

P (A | B) = P (A ∩ B) / P (B),

înmulțim ambele părți cu P (B) și obțineți formula echivalentă:

P (A | B) X P (B) = P (A ∩ B).

Putem folosi apoi această formulă pentru a găsi probabilitatea ca două evenimente să apară utilizând probabilitatea condiționată.

Utilizarea Formulei

Această versiune a formulei este cea mai utilă atunci când cunoaștem probabilitatea condiționată de A dat B precum și probabilitatea evenimentului B. Dacă acesta este cazul, atunci putem calcula probabilitatea de intersecție a A dat B prin simpla înmulțire a altor două probabilități. Probabilitatea intersecției a două evenimente este un număr important, deoarece este probabilitatea ca ambele evenimente să aibă loc.

Exemple

Pentru primul nostru exemplu, să presupunem că cunoaștem următoarele valori pentru probabilități: P (A | B) = 0,8 și P (B) = 0,5. Probabilitatea P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.

În timp ce exemplul de mai sus arată modul în care funcționează formula, este posibil să nu fie cel mai luminant cu privire la cât de util este formula de mai sus. Deci vom lua în considerare un alt exemplu. Există un liceu cu 400 de elevi, dintre care 120 sunt bărbați și 280 sunt femei. Dintre bărbați, 60% sunt în prezent înscriși la un curs de matematică. Dintre femei, 80% sunt în prezent înscriși la un curs de matematică. Care este probabilitatea ca o studentă selectată la întâmplare să fie o femeie care este înscrisă la un curs de matematică?

Aici am lăsat F desemnează evenimentul „Studentul ales este o femeie” și M evenimentul „Elevul selectat este înscris la un curs de matematică.” Trebuie să determinăm probabilitatea intersecției acestor două evenimente sau P (M ∩ F).

Formula de mai sus ne arată că P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). Probabilitatea ca o femeie să fie selectată este P (F) = 280/400 = 70%. Probabilitatea condiționată de ca studentul selectat să fie înscris la un curs de matematică, dat fiind faptul că o femeie a fost selectată este P (M | F) = 80%. Înmulțim aceste probabilități împreună și vedem că avem o probabilitate de 80% x 70% = 56% de a selecta o studentă care este înscrisă la un curs de matematică.

Test pentru independență

Formula de mai sus referitoare la probabilitatea condițională și probabilitatea de intersecție ne oferă un mod ușor de a spune dacă avem de-a face cu două evenimente independente. De la evenimente A și B sunt independente dacă P (A | B) = P (A), din formula de mai sus rezultă că evenimentele A și B sunt independente dacă și numai dacă:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

Deci, dacă știm asta P (A) = 0,5, P (B) = 0,6 și P (A ∩ B) = 0,2, fără să știm altceva putem determina că aceste evenimente nu sunt independente. Știm asta pentru că P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Aceasta nu este probabilitatea de intersecție a A și B.