Utilizarea cifrelor semnificative în măsurarea precisă

La efectuarea unei măsurători, un om de știință nu poate atinge decât un anumit nivel de precizie, limitat fie de instrumentele utilizate, fie de natura fizică a situației. Cel mai evident exemplu este măsurarea distanței.

Luați în considerare ce se întâmplă la măsurarea distanței unui obiect mișcat folosind o bandă de măsură (în unități metrice). Banda de măsurare este probabil împărțită în cele mai mici unități de milimetru. Prin urmare, nu puteți măsura cu o precizie mai mare decât un milimetru. Dacă obiectul se mișcă 57.215493 milimetri, prin urmare, putem spune sigur că a mutat 57 de milimetri (sau 5,7 centimetri sau 0,057 metri, în funcție de preferința din acea situație).

În general, acest nivel de rotunjire este bine. Obținerea deplasării precise a unui obiect de dimensiuni normale până la un milimetru ar fi o realizare destul de impresionantă, de fapt. Imaginați-vă că încercați să măsurați mișcarea unei mașini până la milimetru și veți vedea că, în general, acest lucru nu este necesar. În cazurile în care este necesară o asemenea precizie, veți folosi instrumente mult mai sofisticate decât o bandă.

Numărul de numere semnificative dintr-o măsurătoare se numește numărul de cifre semnificative a numărului. În exemplul anterior, răspunsul de 57 de milimetri ne-ar oferi 2 cifre semnificative în măsurarea noastră.

Zeroe și cifre semnificative

Luați în considerare numărul 5.200.

Cu excepția cazului în care se spune altfel, în general este practica obișnuită să presupunem că doar cele două cifre diferite de zero sunt semnificative. Cu alte cuvinte, se presupune că acest număr a fost rotunjit la cea mai apropiată sută.

Cu toate acestea, dacă numărul este scris ca 5.200.0, atunci ar avea cinci cifre semnificative. Punctul zecimal și următorul zero se adaugă numai dacă măsurarea este precisă la nivelul respectiv.

În mod similar, numărul 2.30 ar avea trei cifre semnificative, deoarece zero la sfârșit este un indiciu că omul de știință care a făcut măsurarea a făcut acest lucru la acel nivel de precizie.

Unele manuale au introdus, de asemenea, convenția potrivit căreia un punct zecimal la sfârșitul unui număr întreg indică și cifre semnificative. Deci, 800. ar avea trei cifre semnificative, în timp ce 800 are o singură cifră semnificativă. Din nou, acest lucru este oarecum variabil în funcție de manual.

Urmează câteva exemple de numere diferite de cifre semnificative, pentru a ajuta la solidificarea conceptului:

O cifră semnificativă
4
900
0.00002
Două cifre semnificative
3.7
0.0059
68000
5
Trei cifre semnificative
9,64
0.00360
99900
8.00
900. (în unele manuale)

Matematică cu cifre semnificative

Cifrele științifice oferă câteva reguli diferite pentru matematică decât cele introduse la clasa de matematică. Cheia utilizării cifrelor semnificative este să vă asigurați că mențineți același nivel de precizie pe tot parcursul calculului. În matematică, păstrezi toate numerele din rezultatul tău, în timp ce în activitatea științifică te rotești frecvent pe baza cifrelor semnificative implicate.

La adăugarea sau scăderea datelor științifice, este importantă numai ultima cifră (cifra cea mai îndepărtată la dreapta). De exemplu, să presupunem că adăugăm trei distanțe diferite:

5.324 + 6.8459834 + 3.1

Primul termen în problema adăugării are patru cifre semnificative, al doilea are opt, iar al treilea are doar două. Precizia, în acest caz, este determinată de cel mai scurt punct zecimal. Deci, vă veți efectua calculul, dar în loc de 15.2699834, rezultatul va fi 15.3, deoarece vă veți rotunji la locul al zecelea (primul loc după punctul zecimal), deoarece în timp ce două dintre măsurătorile dvs. sunt mai precise, a treia nu poate spune ai ceva mai mult decât locul al zecelea, deci rezultatul acestei probleme de adăugare poate fi doar atât de precis.

Rețineți că răspunsul dvs. final, în acest caz, are trei cifre semnificative, în timp nici unul din numerele tale de început. Acest lucru poate fi foarte confuz pentru începători și este important să acordăm atenție acelei proprietăți de adunare și scădere.

În cazul înmulțirii sau divizării datelor științifice, contează, pe de altă parte, numărul de cifre semnificative. Înmulțirea cifrelor semnificative va avea întotdeauna o soluție care are aceleași cifre semnificative ca și cele mai mici cifre semnificative cu care ați început. Deci, pe exemplul:

5.638 x 3.1

Primul factor are patru cifre semnificative, iar cel de-al doilea factor are două cifre semnificative. Prin urmare, soluția dvs. se va încheia cu două cifre semnificative. În acest caz, va fi 17 în loc de 17.4778. Efectuați calculul apoi rotunjiți soluția dvs. la numărul corect de cifre semnificative. Precizia suplimentară a înmulțirii nu va strica, pur și simplu nu doriți să dați un nivel fals de precizie în soluția dvs. finală.

Utilizarea notației științifice

Fizica se ocupă cu tărâmuri ale spațiului de la mărimea mai mică decât un proton până la dimensiunea universului. Ca atare, sfârșești să te ocupi de un număr foarte mare și foarte mic. În general, doar primele câteva dintre aceste numere sunt semnificative. Nimeni nu va măsura (sau va putea) să măsoare lățimea universului până la cel mai apropiat milimetru.

Notă

Această porțiune a articolului tratează manipularea numerelor exponențiale (adică 105, 10-8 etc.) și se presupune că cititorul înțelege aceste concepte matematice. Deși subiectul poate fi complicat pentru mulți studenți, este în afara domeniului de aplicare al acestui articol.

Pentru a manipula cu ușurință aceste numere, oamenii de știință folosesc notația științifică. Cifrele semnificative sunt listate, apoi înmulțite cu zece la puterea necesară. Viteza luminii este scrisă: [nuanță neagră = nu] 2.997925 x 108 m / s

Există 7 cifre semnificative și acest lucru este mult mai bun decât scrierea 299.792.500 m / s.

Notă

Viteza luminii este scrisă frecvent ca 3.00 x 108 m / s, caz în care există doar trei cifre semnificative. Din nou, este vorba despre ce nivel de precizie este necesar.

Această notare este foarte utilă pentru înmulțire. Urmați regulile descrise anterior pentru înmulțirea numerelor semnificative, păstrarea celui mai mic număr de cifre semnificative, apoi multiplicați mărimile, care urmează regula aditivă a exponenților. Următorul exemplu ar trebui să vă ajute să îl vizualizați:

2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107

Produsul are doar două cifre semnificative, iar ordinea mărimii este de 107, deoarece 103 x 104 = 107

Adăugarea notării științifice poate fi foarte ușoară sau foarte complicată, în funcție de situație. Dacă termenii sunt de aceeași ordine de mărime (adică 4.3005 x 105 și 13.5 x 105), atunci urmați regulile de adăugare discutate anterior, păstrând cea mai mare valoare a locului ca locația rotunjită și păstrând aceeași magnitudine, ca în următoarele. exemplu:

4.3005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105

Dacă ordinea mărimii este diferită, totuși, trebuie să lucrați un pic pentru a obține magnitudinile la fel, ca în exemplul următor, unde un termen este pe magnitudinea de 105, iar celălalt termen este pe magnitudinea de 106:

4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
sau
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106

Ambele soluții sunt aceleași, rezultând 9.700.000 ca răspuns.

În mod similar, numere foarte mici sunt frecvent scrise și în notație științifică, deși cu un exponent negativ pe mărime în loc de exponent pozitiv. Masa unui electron este:

9.10939 x 10-31 kg

Acesta ar fi un zero, urmat de un punct zecimal, urmat de 30 de zero, apoi seria de 6 cifre semnificative. Nimeni nu vrea să scrie asta, așa că notația științifică este prietena noastră. Toate regulile prezentate mai sus sunt aceleași, indiferent dacă exponentul este pozitiv sau negativ.

Limitele cifrelor semnificative

Cifrele semnificative sunt un mijloc de bază pe care oamenii de știință îl folosesc pentru a oferi o măsură de precizie numerelor pe care le folosesc. Procesul de rotunjire implicat introduce încă o măsură de eroare în numere, iar în calcule la nivel înalt, există alte metode statistice care se obișnuiesc. Pentru practic toată fizica care se va face în clasele de liceu și de nivel universitar, cu toate acestea, utilizarea corectă a unor cifre semnificative va fi suficientă pentru a menține nivelul de precizie necesar.

Comentarii finale

Cifrele semnificative pot fi un obstacol semnificativ atunci când sunt introduse pentru prima dată elevilor, deoarece modifică unele dintre regulile matematice de bază pe care le-au învățat de ani buni. Cu cifre semnificative, de exemplu, 4 x 12 = 50.

În mod similar, introducerea notării științifice studenților care s-ar putea să nu fie pe deplin confortabili cu exponenți sau reguli exponențiale poate crea, de asemenea, probleme. Rețineți că acestea sunt instrumente pe care toți cei care studiază știința au trebuit să le învețe la un moment dat, iar regulile sunt de fapt foarte de bază. Problema este să-mi amintesc aproape în totalitate ce regulă se aplică la momentul respectiv. Când adaug exponanți și când le scad? Când mut punctul zecimal la stânga și când la dreapta? Dacă continuați să practicați aceste sarcini, veți obține mai bine la ele până devin a doua natură.

În cele din urmă, menținerea unităților adecvate poate fi dificilă. Nu uitați că nu puteți adăuga direct centimetri și metri, de exemplu, dar trebuie mai întâi să-i convertiți în aceeași scară. Aceasta este o greșeală obișnuită pentru începători, dar, ca și restul, este ceva care poate fi foarte ușor de depășit prin încetinirea ritmului, a fi atent și a se gândi la ceea ce faci.