Care sunt legile lui De Morgan?

Statistica matematică necesită uneori utilizarea teoriei de seturi. Legile lui De Morgan sunt două afirmații care descriu interacțiunile dintre diferite operații ale teoriei de seturi. Legile sunt acelea pentru orice două seturi A și B:

1. (A ∩ B)^C = A^C U B^C.
2. (A U B)^C = A^C ∩ B^C.

După ce vom explica ce înseamnă fiecare dintre aceste afirmații, vom analiza un exemplu pentru fiecare dintre acestea utilizate.

Set operații teoretice

Pentru a înțelege ce spun Legile lui De Morgan, trebuie să amintim câteva definiții ale operațiunilor de teorie a seturilor. Mai exact, trebuie să știm despre unirea și intersecția a două seturi și complementul unui set.

Legile lui De Morgan se referă la interacțiunea uniunii, intersecției și complementului. Reamintim că:

• Intersecția seturilor A și B constă din toate elementele comune ambelor A și B. Intersecția este notată de A ∩ B.
• Unirea seturilor A și B constă din toate elementele care în oricare A sau B, inclusiv elementele din ambele seturi. Intersecția este notată de A U B.
• Complementul setului A constă din toate elementele care nu sunt elemente ale A. Acest complement este notat cu A^C.

Acum că am amintit de aceste operațiuni elementare, vom vedea declarația Legilor lui De Morgan. Pentru fiecare pereche de seturi A și B noi avem:

1. (A ∩ B)^C = A^C U B^C
2. (A U B)^C = A^C ∩ B^C

Aceste două afirmații pot fi ilustrate prin utilizarea diagramelor Venn. După cum se vede mai jos, putem demonstra folosind un exemplu. Pentru a demonstra că aceste afirmații sunt adevărate, trebuie să le dovedim folosind definiții ale operațiilor din teoria seturilor.

Exemplu de legile lui De Morgan

De exemplu, luăm în considerare setul de numere reale de la 0 la 5. Scriem acest lucru în notație de intervale [0, 5]. În cadrul acestui set avem A = [1, 3] și B = [2, 4]. În plus, după aplicarea operațiunilor noastre elementare, avem:

• Complementul A^C = [0, 1) U (3, 5]
• Complementul B^C = [0, 2) U (4, 5]
• Uniunea A U B = [1, 4]
• Intersecția A ∩ B = [2, 3]

Începem prin calcularea unirii A^C U B^C.  Vedem că unirea [0, 1) U (3, 5] cu [0, 2) U (4, 5] este [0, 2) U (3, 5]. Intersecția A ∩ B este [2, 3]. Vedem că complementul acestui set [2, 3] este și [0, 2) U (3, 5]. În acest fel am demonstrat că A^C U B^C = (A ∩ B)^C.

Acum vedem intersecția dintre [0, 1) U (3, 5] cu [0, 2) U (4, 5] este [0, 1) U (4, 5]. De asemenea, vedem că complementul lui [ 1, 4 este, de asemenea, [0, 1) U (4, 5]. În acest fel am demonstrat că A^C ∩ B^C = (A U B)^C.

Denumirea legilor lui De Morgan

De-a lungul istoriei logicii, oameni precum Aristotel și William of Ockham au făcut declarații echivalente cu Legile lui De Morgan. 

Legile lui De Morgan poartă numele lui Augustus De Morgan, care a trăit între 1806-1871. Deși nu a descoperit aceste legi, el a fost primul care a introdus aceste afirmații în mod formal folosind o formulare matematică în logica propozițională.