Care sunt momentele în statistici?
Share
Momentele din statisticile matematice implică un calcul de bază. Aceste calcule pot fi utilizate pentru a găsi media, variația și ușurința distribuției probabilității.
Să presupunem că avem un set de date cu un total de n puncte discrete. Un calcul important, care este de fapt mai multe numere, este numit sclipa a treia. sal momentului setului de date cu valori X1, X2, X3,... , Xn este dată de formula:
(X1s + X2s + X3s +... + Xns) /n
Utilizarea acestei formule necesită să fim atenți la ordinea noastră de operații. Trebuie să facem mai întâi exponenții, să adăugăm, apoi să împărțim această sumă cu n numărul total de valori ale datelor.
O notă despre termenul „Moment”
Termenul moment a fost preluat din fizică. În fizică, momentul unui sistem de mase punctuale este calculat cu o formulă identică cu cea de mai sus, iar această formulă este utilizată pentru a găsi centrul de masă al punctelor. În statistici, valorile nu mai sunt mase, dar așa cum vom vedea, momentele din statistici măsoară totuși ceva în raport cu centrul valorilor.
Primul moment
Pentru primul moment, am stabilit s = 1. Formula pentru primul moment este astfel:
(X1X2 + X3 +... + Xn) /n
Aceasta este identică cu formula pentru media probei.
Primul moment al valorilor 1, 3, 6, 10 este (1 + 3 + 6 + 10) / 4 = 20/4 = 5.
Al doilea moment
Pentru al doilea moment am stabilit s = 2. Formula pentru al doilea moment este:
(X12 + X22 + X32 +... + Xn2) /n
Al doilea moment al valorilor 1, 3, 6, 10 este (12 + 32 + 62 + 102) / 4 = (1 + 9 + 36 + 100) / 4 = 146/4 = 36,5.
Al treilea moment
Pentru al treilea moment am stabilit s = 3. Formula pentru al treilea moment este:
(X13 + X23 + X33 +... + Xn3) /n
Al treilea moment al valorilor 1, 3, 6, 10 este (13 + 33 + 63 + 103) / 4 = (1 + 27 + 216 + 1000) / 4 = 1244/4 = 311.
Momentele mai înalte pot fi calculate într-un mod similar. Înlocuiți doar s în formula de mai sus cu numărul care indică momentul dorit.
Momente despre medie
O idee înrudită este cea a smomentul despre medie. În acest calcul efectuăm următorii pași:
- Mai întâi, calculați media valorilor.
- În continuare, scade această medie de la fiecare valoare.
- Apoi ridicați fiecare dintre aceste diferențe la sputerea a.
- Acum adaugă împreună numerele de la pasul 3.
- În final, împărțiți această sumă la numărul de valori cu care am început.
Formula pentru smomentul despre medie m a valorilor valorilor X1, X2, X3,... , Xn este dat de:
ms = (((X1 - m)s + (X2 - m)s + (X3 - m)s +... + (Xn - m)s) /n
Primul moment despre medie
Primul moment despre medie este întotdeauna egal cu zero, indiferent de setul de date cu care lucrăm. Acest lucru poate fi văzut în următoarele:
m1 = (((X1 - m) + (X2 - m) + (X3 - m) +… + (Xn - m)) /n = (((X1+ X2 + X3 +... + Xn) - nm) /n = m - m = 0.
Al doilea moment despre medie
Al doilea moment despre medie este obținut din formula de mai sus prin setares = 2:
m2 = (((X1 - m)2 + (X2 - m)2 + (X3 - m)2 +... + (Xn - m)2) /n
Această formulă este echivalentă cu cea pentru variația probei.
De exemplu, luăm în considerare setul 1, 3, 6, 10. Am calculat deja media acestui set ca fiind 5. Scădem acest lucru din fiecare dintre valorile datelor pentru a obține diferențe de:
- 1 - 5 = -4
- 3 - 5 = -2
- 6 - 5 = 1
- 10 - 5 = 5
Pătratăm fiecare din aceste valori și le adăugăm împreună: (-4)2 + (-2)2 + 12 + 52 = 16 + 4 + 1 + 25 = 46. În sfârșit, împarte acest număr la numărul de puncte de date: 46/4 = 11,5
Aplicații de momente
Așa cum am menționat mai sus, primul moment este media și al doilea moment despre medie este variația probei. Karl Pearson a introdus utilizarea celui de-al treilea moment despre medie în calculul neputinței și al patrulea moment despre media în calculul kurtozei.
