Ce este Calculul? Definiție și aplicații practice

Calculul este o ramură a matematicii care implică studiul ratelor schimbării. Înainte de a fi inventat calculul, toată matematica era statică: nu putea ajuta decât să calculeze obiecte care erau perfect nemișcate. Dar universul este în continuă mișcare și schimbare. Niciun obiect - de la stele în spațiu până la particule subatomice sau celule din corp - nu este întotdeauna în repaus. Într-adevăr, cam toate lucrurile din univers sunt în continuă mișcare. Calculul a ajutat la determinarea modului în care particulele, stelele și materia se mișcă și se schimbă în timp real.

Calculul este utilizat într-o multitudine de câmpuri despre care, în mod normal, nu ai crede că ar folosi conceptele sale. Printre ele se numără fizica, ingineria, economia, statisticile și medicina. Calculul este folosit și în zone atât de disparate precum călătoriile în spațiu, precum și pentru a determina modul în care medicamentele interacționează cu organismul și chiar cum să construiască structuri mai sigure. Veți înțelege de ce calculul este util în atâtea domenii dacă știți un pic despre istoricul său, precum și despre ce este proiectat să facă și să măsoare.

Cheltuieli cheie: teorema fundamentală a calculului

• Calculul este studiul ratelor de schimbare.
• Gottfried Leibniz și Isaac Newton, matematicieni din secolul al XVII-lea, au inventat calculul în mod independent. Newton a inventat-o ​​mai întâi, dar Leibniz a creat notările pe care matematicienii le folosesc astăzi.
• Există două tipuri de calcul: calculul diferențial determină viteza de modificare a unei cantități, în timp ce calculul integral găsește cantitatea în care rata de modificare este cunoscută.

Cine a inventat calculul?

Calculul a fost dezvoltat în a doua jumătate a secolului al XVII-lea de către doi matematicieni, Gottfried Leibniz și Isaac Newton. Newton a dezvoltat primul calcul și l-a aplicat direct pentru înțelegerea sistemelor fizice. În mod independent, Leibniz a dezvoltat notațiile utilizate în calcul. Cu alte cuvinte, în timp ce matematica de bază folosește operațiuni precum plus, minus, ori și diviziune (+, -, x și ÷), calculul folosește operațiuni care utilizează funcții și elemente integrale pentru a calcula ratele de schimbare.

Aceste instrumente permiteau lui Newton, Leibniz și alți matematicieni care au urmat să calculeze lucruri precum panta exactă a unei curbe în orice moment. Povestea matematicii explică importanța teoremei fundamentale a lui Newton a calculului:

„Spre deosebire de geometria statică a grecilor, calculul le-a permis matematicienilor și inginerilor să înțeleagă mișcarea și schimbarea dinamică a lumii în schimbare din jurul nostru, cum ar fi orbitele planetelor, mișcarea fluidelor etc."

Folosind calculi, oamenii de știință, astronomii, fizicienii, matematicienii și chimiștii ar putea acum să grafice orbita planetelor și a stelelor, precum și calea electronilor și protonilor la nivel atomic.

Calcul diferențial vs.

Există două ramuri ale calculului: calculul diferențial și integral. "Calculul diferențial studiază calculele derivate și integrale ... integrala", notează Massachusetts Institute of Technology. Dar există mai mult decât asta. Calculul diferențial determină viteza de modificare a unei cantități. Acesta examinează ratele de schimbare a pantelor și curbelor.

Această ramură este preocupată de studiul ratei schimbării funcțiilor în ceea ce privește variabilele acestora, în special prin utilizarea de derivate și diferențiale. Derivatul este panta unei linii de pe un grafic. Găsești panta unei linii calculând ascensiunea pe parcurs.

În schimb, calculul integral încearcă să găsească cantitatea în care se cunoaște rata de modificare. Această ramură se concentrează pe astfel de concepte precum pantele liniilor tangente și viteze. În timp ce calculul diferențial se concentrează asupra curbei în sine, calculul integral se preocupă de spațiu sau zonă sub curba. Calculul integral este utilizat pentru a calcula dimensiunea sau valoarea totală, cum ar fi lungimile, suprafețele și volumele.

Calculul a jucat un rol integral în dezvoltarea navigației în secolele XVII și XVIII, deoarece le-a permis marinarilor să folosească poziția lunii pentru a determina cu exactitate ora locală. Pentru a-și diagrama poziția pe mare, navigatorii trebuiau să poată măsura atât timpul cât și unghiurile cu exactitate. Înainte de dezvoltarea calculului, navigatorii și căpitanii de nave nu puteau face niciuna.

Calculul - atât derivat, cât și integral - a ajutat la îmbunătățirea înțelegerii acestui concept important în ceea ce privește curba Pământului, distanțele de la navele trebuiau să călătorească în jurul unei curbe pentru a ajunge la o anumită locație și chiar alinierea Pământului. , și se livrează în raport cu stelele.

Aplicații practice

Calculul are multe aplicații practice în viața reală. Unele dintre conceptele care folosesc calculul includ mișcare, electricitate, căldură, lumină, armonice, acustică și astronomie. Calculul este utilizat în geografie, viziune computerizată (cum ar fi pentru conducerea autonomă a mașinilor), fotografie, inteligență artificială, robotică, jocuri video și chiar filme. Calculul este de asemenea utilizat pentru a calcula ratele de descompunere radioactivă în chimie și chiar pentru a prezice ratele de naștere și de deces, precum și în studiul gravitației și mișcării planetare, fluxului de fluide, proiectarea navei, curbelor geometrice și ingineriei podurilor.

În fizică, de exemplu, calculul este folosit pentru a ajuta la definirea, explicarea și calcularea mișcării, electricității, căldurii, luminii, armonicilor, acusticii, astronomiei și dinamicii. Teoria relativității a lui Einstein se bazează pe calcul, un domeniu al matematicii care îi ajută pe economiști să prezice cât de mult poate obține o companie sau o industrie. Și în construcția navelor, calculul a fost folosit timp de mai mulți ani pentru a determina atât curba carenei navei (folosind calcul diferențial), cât și zona de sub carenă (folosind calcul integral), și chiar în proiectarea generală a navelor.

În plus, calculul este folosit pentru a verifica răspunsurile pentru diferite discipline matematice, cum ar fi statisticile, geometria analitică și algebra..

Calcul în economie

Economiștii folosesc calculul pentru a prezice oferta, cererea și profiturile potențiale maxime. Oferta și cererea sunt, până la urmă, esențial grafice pe o curbă și pe o curbă în continuă schimbare.

Economiștii folosesc calculul pentru a determina elasticitatea prețului cererii. Ele se referă la curba în continuă schimbare a ofertei și a cererii ca „elastică”, iar acțiunile curbei ca „elasticitate”. Pentru a calcula o măsură exactă de elasticitate într-un anumit punct de pe o curbă a ofertei sau a cererii, trebuie să vă gândiți la modificări infinitim de mici ale prețului și, ca urmare, să încorporați derivatele matematice în formulele dvs. de elasticitate. Calculul vă permite să determinați puncte specifice pe acea schimbare constantă a ofertei și a cererii.

Sursă

"Rezumatul calculului." Massachusetts Institute of Technology, 10 ianuarie 2000, Cambridge, MA.