Ce este paradoxul din Sankt Petersburg?

Te afli pe străzile din Sankt Petersburg, Rusia și un bătrân îți propune următorul joc. Aruncă o monedă (și va împrumuta una dintre dumneavoastră dacă nu aveți încredere că a sa este corectă). Dacă aterizează cozi, pierzi și jocul se termină. Dacă moneda aterizează în sus, atunci câștigi o rubla și jocul continuă. Moneda este din nou aruncată. Dacă este coadă, jocul se termină. Dacă este vorba de capete, atunci câștigați încă două ruble. Jocul continuă astfel. Pentru fiecare cap de succes ne dublăm câștigurile față de runda precedentă, dar la semnul primei cozi, jocul este finalizat.

Cât ai plăti pentru a juca acest joc? Când luăm în considerare valoarea așteptată a acestui joc, ar trebui să sari la șansă, indiferent de costul jucat. Cu toate acestea, din descrierea de mai sus, probabil că nu veți fi dispuși să plătiți mult. La urma urmei, există o probabilitate de 50% să nu câștigi nimic. Aceasta este ceea ce este cunoscut sub numele de Paradoxul din Sankt Petersburg, numit datorită publicării din 1738 a lui Daniel Bernoulli Comentarii ale Academiei Imperiale de Științe din Sankt Petersburg.

Unele probabilități

Să începem prin calcularea probabilităților asociate acestui joc. Probabilitatea ca o monedă corectă să se ridice este de 1/2. Fiecare aruncare de monede este un eveniment independent și astfel multiplicăm probabilitățile, eventual, cu utilizarea unei diagrame de arbori.

• Probabilitatea a două capete la rând este (1/2)) x (1/2) = 1/4.
• Probabilitatea a trei capete la rând este (1/2) x (1/2) x (1/2) = 1/8.
• Pentru a exprima probabilitatea de n se îndreaptă la rând, unde n este un număr întreg pozitiv pe care îl folosim exponenți pentru a scrie 1/2ⁿ.

Unele plăți

Acum să mergem mai departe și să vedem dacă putem generaliza care ar fi câștigurile în fiecare rundă.

• Dacă ai un cap în prima rundă, câștigi o rublu pentru runda respectivă.
• Dacă există un cap în a doua rundă, câștigi două ruble în acea rundă.
• Dacă există un cap în a treia rundă, atunci câștigi patru ruble în acea rundă.
• Dacă ați avut norocul să faceți totul până la n^lea runda, atunci vei câștiga 2^n-1 ruble în acea rundă.

Valoarea preconizată a jocului

Valoarea preconizată a unui joc ne spune care ar fi câștigurile în medie dacă ar juca jocul de multe ori. Pentru a calcula valoarea așteptată, înmulțim valoarea câștigurilor din fiecare rundă cu probabilitatea de a ajunge la această rundă, apoi adăugăm toate aceste produse împreună.

• Din prima rundă, aveți probabilitatea 1/2 și câștiguri de 1 rubla: 1/2 x 1 = 1/2
• Din a doua rundă, aveți probabilitatea 1/4 și câștigurile a 2 ruble: 1/4 x 2 = 1/2
• Din prima rundă, aveți probabilitatea 1/8 și câștiguri de 4 ruble: 1/8 x 4 = 1/2
• Din prima rundă, aveți probabilitatea 1/16 și câștiguri de 8 ruble: 1/16 x 8 = 1/2
• Din prima rundă, aveți probabilitatea 1/2ⁿ și câștiguri de 2^n-1 ruble: 1/2ⁿ x 2^n-1 = 1/2

Valoarea de la fiecare rundă este 1/2 și adăugarea rezultatelor din prima n rotunjirile împreună ne oferă o valoare așteptată de n/ 2 ruble. De cand n poate fi orice număr întreg pozitiv, valoarea așteptată este nelimitată.

Paradoxul

Deci, ce ar trebui să plătești pentru a juca? O rubla, o mie de ruble sau chiar un miliard de ruble ar fi, pe termen lung, mai mici decât valoarea scontată. În ciuda calculului de mai sus care promite bogății nespuse, cu toții am fi fost reticenți să plătim foarte mult pentru a juca.

Există numeroase modalități de rezolvare a paradoxului. Unul dintre modurile mai simple este acela că nimeni nu ar oferi un joc precum cel descris mai sus. Nimeni nu are infinitele resurse pe care le-ar fi nevoie pentru a plăti pe cineva care a continuat să flip capete.

Un alt mod de a rezolva paradoxul constă în a evidenția cât de improbabil este să obții ceva de genul a 20 de capete la rând. Șansele acestei întâmplări sunt mai bune decât câștigarea celor mai multe loterii de stat. Oamenii joacă de obicei astfel de loterii cu cinci dolari sau mai puțin. Deci, prețul pentru a juca jocul din Sankt Petersburg nu ar trebui să depășească câțiva dolari.

Dacă bărbatul din Sankt Petersburg spune că va costa altceva decât câteva ruble pentru a juca jocul său, ar trebui să refuzați politicos și să vă îndepărtați. Rublele oricum nu valorează mult.