Care este distribuția normală standard?

Curbele clopotelor apar de-a lungul statisticilor. Măsurări diverse, cum ar fi diametrele semințelor, lungimile aripioarelor de pește, scorurile pe SAT și greutatea foilor individuale ale unei smocuri de hârtie, toate formează curbe de clopot atunci când sunt grapa. Forma generală a tuturor acestor curbe este aceeași. Dar toate aceste curbe sunt diferite, deoarece este foarte puțin probabil ca oricare dintre ele să aibă aceeași medie sau abatere standard. Curbele de clopot cu abateri standard mari sunt largi, iar curbele de clopot cu mici abateri standard sunt slabe. Curbele cu clopot cu mijloace mai mari sunt deplasate mai mult spre dreapta decât cele cu mijloace mai mici.

Un exemplu

Pentru a face acest lucru un pic mai concret, să ne prefacem că măsurăm diametrele a 500 de boabe de porumb. Apoi înregistrăm, analizăm și graficăm aceste date. Se constată că setul de date are forma unei curbe de clopot și are o medie de 1,2 cm cu o abatere standard de .4 cm. Să presupunem acum că facem același lucru cu 500 de fasole și descoperim că acestea au un diametru mediu de .8 cm cu o abatere standard de .04 cm.

Curbele de clopot din ambele seturi de date sunt reprezentate mai sus. Curba roșie corespunde datelor porumbului și curba verde corespunde datelor fasolei. După cum putem vedea, centrele și spreadurile acestor două curbe sunt diferite.

Acestea sunt în mod clar două curbe de clopot diferite. Sunt diferite, deoarece mijloacele și abaterile standard nu se potrivesc. Deoarece orice set de date interesante pe care le întâlnim poate avea orice număr pozitiv ca o abatere standard și orice număr pentru o medie, tocmai suntem zgâriați suprafața unui infinit numărul de curbe de clopot. Aceasta este o mulțime de curbe și mult prea multe pentru a face față. Care este soluția?

O curbă cu clopoțel foarte specială

Unul dintre obiectivele matematicii este de a generaliza lucrurile ori de câte ori este posibil. Uneori, mai multe probleme individuale sunt cazuri speciale ale unei singure probleme. Această situație care implică curbele clopotului este o ilustrare excelentă a acestui fapt. În loc să se ocupe de un număr infinit de curbe de clopot, le putem raporta pe toate la o singură curbă. Această curbă specială a clopotului se numește curbă clopot standard sau distribuție normală standard.

Curba clopotului standard are o medie de zero și o abatere standard a unuia. Orice altă curbă de clopot poate fi comparată cu acest standard printr-un calcul simplu.

Caracteristici ale distribuției normale standard

Toate proprietățile oricărei curbe de clopot păstrează distribuția normală standard.

• Distribuția normală standard nu are doar o medie de zero, ci și o medie și un mod de zero. Acesta este centrul curbei.
• Distribuția normală standard arată simetria oglinzii la zero. Jumătate din curbă este la stânga zero și jumătate din curbă este la dreapta. Dacă curba ar fi pliată de-a lungul unei linii verticale la zero, ambele jumătăți s-ar potrivi perfect.
• Distribuția normală standard respectă regula 68-95-99.7, care ne oferă o modalitate ușoară de a estima următoarele:
  • Aproximativ 68% din toate datele sunt cuprinse între -1 și 1.
  • Aproximativ 95% din toate datele sunt cuprinse între -2 și 2.
  • Aproximativ 99,7% din toate datele sunt cuprinse între -3 și 3.

De ce ne pasă

În acest moment, am putea să ne întrebăm: „De ce să vă plictisiți cu o curbă de clopot standard?” Poate părea o complicație inutilă, dar curba standard a clopotului va fi benefică pe măsură ce vom continua în statistici.

Vom constata că un tip de problemă din statistici ne impune să găsim zone sub porțiuni ale oricărei curbe de clopot întâlnite. Curba clopotului nu este o formă plăcută pentru zone. Nu este ca un dreptunghi sau un triunghi drept care au formule de zonă ușoare. Găsirea zonelor părților unei curbe de clopot poate fi dificilă, atât de greu, de fapt, încât ar trebui să folosim niște calcule. Dacă nu ne standardizăm curbele clopotului, ar trebui să facem câteva calcule de fiecare dată când dorim să găsim o zonă. Dacă ne standardizăm curbele, toată munca de calcul a zonelor a fost făcută pentru noi.