Valoarea preconizată pentru Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck este un joc de noroc. Trei zaruri sunt rulate, uneori într-un cadru de sârmă. Datorită acestui cadru, acest joc se numește și birdcage. Acest joc este mai des văzut în carnavaluri decât în ​​cazinouri. Cu toate acestea, datorită utilizării zarurilor aleatorii, putem folosi probabilitatea pentru a analiza acest joc. Mai exact putem calcula valoarea așteptată a acestui joc.

pariuri

Există mai multe tipuri de pariuri pe care pot paria. Vom lua în considerare doar pariul cu un singur număr. Pe acest pariu alegem pur și simplu un număr specific de la unu la șase. Apoi turnăm zarurile. Luați în considerare posibilitățile. Toate zarurile, două, una sau una nu ar putea arăta numărul pe care l-am ales.

Să presupunem că acest joc va plăti următoarele:

• 3 $ dacă toate cele trei zaruri se potrivesc cu numărul ales.
• $ 2 dacă exact două zaruri se potrivesc cu numărul ales.
• $ 1 dacă exact unul dintre zaruri se potrivește cu numărul ales.

Dacă niciun zar nu se potrivește cu numărul ales, atunci trebuie să plătim 1 dolar.

Care este valoarea așteptată a acestui joc? Cu alte cuvinte, pe termen lung cât de mult ne-am aștepta să câștigăm sau să pierdem dacă am juca acest joc în mod repetat?

probabilităţile

Pentru a găsi valoarea așteptată a acestui joc, trebuie să determinăm patru probabilități. Aceste probabilități corespund celor patru rezultate posibile. Observăm că fiecare moarte este independentă de celelalte. Datorită acestei independențe, folosim regula înmulțirii. Acest lucru ne va ajuta în stabilirea numărului de rezultate.

De asemenea, presupunem că zarurile sunt corecte. Fiecare din cele șase părți de pe fiecare dintre cele trei zaruri este la fel de probabil să fie rostogolită.

Există 6 x 6 x 6 = 216 rezultate posibile din rularea acestor trei zaruri. Acest număr va fi numitorul pentru toate probabilitățile noastre.

Există o modalitate de a potrivi toate cele trei zaruri cu numărul ales.

Există cinci modalități prin care o singură matriță nu se potrivește cu numărul ales. Aceasta înseamnă că există 5 x 5 x 5 = 125 căi pentru ca niciuna dintre zarurile noastre să nu corespundă cu numărul ales.

Dacă considerăm exact două dintre potrivirea zarurilor, atunci avem o matriță care nu se potrivește.

• Există 1 x 1 x 5 = 5 moduri pentru ca primele două zaruri să se potrivească cu numărul nostru și a treia să fie diferită.
• Există 1 x 5 x 1 = 5 moduri pentru care primul și al treilea zar să se potrivească, al doilea să fie diferit.
• Există 5 x 1 x 1 = 5 moduri pentru ca prima matriță să fie diferită și pentru cea de-a doua și a treia potrivire.

Aceasta înseamnă că există un total de 15 moduri pentru a se potrivi exact două zaruri.

Acum am calculat numărul de modalități de a obține toate rezultatele noastre, cu excepția unuia. Sunt posibile 216 de role. Am reprezentat 1 + 15 + 125 = 141 dintre acestea. Aceasta înseamnă că au rămas 216 -141 = 75.

Colectăm toate informațiile de mai sus și vedem:

• Probabilitatea ca numărul nostru să se potrivească cu toate cele trei zaruri este 1/216.
• Probabilitatea ca numărul nostru să se potrivească exact cu două zaruri este 15/216.
• Probabilitatea ca numărul nostru să se potrivească exact cu o moarte este de 75/216.
• Probabilitatea ca numărul nostru să nu se potrivească cu niciun zar este de 125/216.

Valorea estimata

Acum suntem pregătiți să calculăm valoarea așteptată a acestei situații. Formula valorii așteptate necesită să înmulțim probabilitatea fiecărui eveniment cu câștigul sau pierderea netă în cazul în care se produce evenimentul. Adăugăm apoi toate aceste produse împreună.

Calculul valorii așteptate este următorul:

(3) (1/216) + (2) (15/216) + (1) (75/216) + (- 1) (125/216) = 3/216 +30/216 +75/216 -125 / 216 = -17/216

Aceasta este aproximativ - 0,08 USD. Interpretarea este că, dacă ar juca acest joc în mod repetat, în medie, am pierde 8 centi de fiecare dată când jucam.