Valoarea preconizată a unei distribuții binomiale

Distribuțiile binomiale sunt o clasă importantă de distribuții de probabilitate discrete. Aceste tipuri de distribuții sunt o serie de n procese independente Bernoulli, fiecare dintre acestea având o probabilitate constantă p de succes. Ca în orice distribuție de probabilitate, am dori să știm care este media sau centrul său. Pentru aceasta, ne întrebăm cu adevărat, „Care este valoarea așteptată a distribuției binomiale?”

Intuție vs. Dovadă

Dacă ne gândim cu atenție la o distribuție binomială, nu este dificil să stabilim dacă valoarea așteptată a acestui tip de distribuție a probabilității este np. Pentru câteva exemple rapide, luați în considerare următoarele:

• Dacă aruncăm 100 de monede și X este numărul de capete, valoarea așteptată de X este 50 = (1/2) 100.
• Dacă luăm un test de alegere multiplă cu 20 de întrebări și fiecare întrebare are patru alegeri (doar una dintre ele este corectă), atunci ghicirea la întâmplare ar însemna că ne-am aștepta doar să obținem (1/4) 20 = 5 întrebări corecte.

În ambele exemple, vedem că E [X] = n p. Două cazuri este suficient pentru a ajunge la o concluzie. Deși intuiția este un instrument bun pentru a ne ghida, nu este suficient să formăm un argument matematic și să dovedim că ceva este adevărat. Cum dovedim definitiv că valoarea așteptată a acestei distribuții este într-adevăr np?

Din definiția valorii așteptate și a funcției de masă de probabilitate pentru distribuția binomială a n încercări de probabilitate de succes p, putem demonstra că intuiția noastră se potrivește cu roadele rigorii matematice. Trebuie să fim oarecum atenți în munca noastră și să fim aglomerați în manipulările noastre ale coeficientului de binom care este dat de formula de combinații.

Începem folosind formula:

E [X] = Σ _{x = 0}ⁿ x C (n, x) p^X(1-p)^{n - x}.

Deoarece fiecare termen al însumării este înmulțit cu X, valoarea termenului corespunzător x = 0 va fi 0, și astfel putem scrie de fapt:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ x C (n, x) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

Prin manipularea factorilor implicați în expresia pentru C (n, x) putem rescrie

x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).

Acest lucru este adevărat, deoarece:

x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).

Rezultă că:

E [X] = Σ _{x = 1}ⁿ n C (n - 1, x - 1) p ^X (1 - p) ^{n - x} .

Facem factorul n și unul p din expresia de mai sus: