Înțelegerea factorului (!) În matematică și statistică

În matematică, simbolurile care au anumite semnificații în limba engleză pot însemna lucruri foarte specializate și diferite. De exemplu, ia în considerare următoarea expresie:

3!

Nu, nu am folosit punctul exclamării pentru a arăta că suntem încântați de trei și nu ar trebui să citim ultima propoziție cu accent. În matematică, expresia 3! este citit ca „trei factorial” și este într-adevăr o modalitate scurtă de a denumi înmulțirea mai multor numere întregi consecutive.

Deoarece există multe locuri de-a lungul matematicii și statisticilor în care trebuie să înmulțim numerele împreună, factorialul este destul de util. Unele dintre principalele locuri în care apare este combinația și calculul probabilității.

Definiție

Definiția factorialului este aceea pentru orice număr întreg pozitiv n, factorial:

n! = n x (n -1) x (n - 2) x ... x 2 x 1

Exemple pentru valori mici

Mai întâi vom analiza câteva exemple de factori cu valori mici ale n:

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

După cum putem vedea factorial devine foarte mare foarte repede. Ceva care poate părea mic, cum ar fi 20! are de fapt 19 cifre.

Factorialele sunt ușor de calculat, dar pot fi oarecum obositoare de calculat. Din fericire, multe calculatoare au o cheie factorială (căutați simbolul!). Această funcție a calculatorului va automatiza înmulțirile.

Un caz special

O altă valoare a factorialului și una pentru care definiția standard de mai sus nu deține este aceea a factorialului zero. Dacă urmăm formula, atunci nu am ajunge la nicio valoare pentru 0 !. Nu există numere întregi pozitive mai mici de 0. Din mai multe motive, este necesar să se definească 0! = 1. Factorialul pentru această valoare apare în special în formulele pentru combinații și permutări.

Mai multe calcule avansate

Când ne ocupăm de calcule, este important să ne gândim înainte de a apăsa tasta factorială de pe calculatorul nostru. Pentru a calcula o expresie precum 100! / 98! există câteva moduri diferite de a face acest lucru.

O modalitate este să folosiți un calculator pentru a găsi ambele 100! și 98 !, apoi împărțiți unul după altul. Deși acesta este un mod direct de calcul, are unele dificultăți asociate. Unele calculatoare nu pot suporta expresii mai mari de 100! = 9.33262154 x 10¹⁵⁷. (Expresia 10¹⁵⁷ este o notație științifică care înseamnă că înmulțim cu 1 urmată de 157 zerouri.) Nu numai că acest număr este masiv, dar este doar o estimare la valoarea reală de 100!

Un alt mod de a simplifica o expresie cu factori ca cea văzută aici nu necesită deloc un calculator. Modul de abordare a acestei probleme este să recunoaștem că putem rescrie 100! nu la fel de 100 x 99 x 98 x 97 x ... x 2 x 1, ci în schimb ca 100 x 99 x 98! Expresia 100! / 98! acum devine (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.