Ce este un Sigma-Field?

Există multe idei din teoria seturilor care indică probabilitate subtilă. O astfel de idee este aceea a unui câmp sigma. Un câmp sigma se referă la colecția de subseturi ale unui spațiu de probă pe care ar trebui să-l utilizăm pentru a stabili o definiție matematică formală a probabilității. Seturile din câmpul sigma constituie evenimentele din spațiul nostru de probă.

Definiție

Definiția unui câmp sigma necesită să avem un spațiu de probă S împreună cu o colecție de subseturi de S. Această colecție de subseturi este un câmp sigma dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

• Dacă subsetul A este în câmpul sigma, atunci la fel este și complementul său A^C.
• Dacă A_n  sunt în mod infinit multe subseturi din câmpul sigma, atunci atât intersecția cât și unirea tuturor acestor seturi se află și în câmpul sigma.

implicaţii

Definiția implică faptul că două seturi particulare fac parte din fiecare câmp sigma. De vreme ce amândoi A și A^C sunt în câmpul sigma, la fel și intersecția. Această intersecție este setul gol. Prin urmare, setul gol face parte din fiecare câmp sigma.

Spațiul de probă S trebuie să facă parte și din câmpul sigma. Motivul pentru aceasta este că unirea din A și A^C trebuie să fie în câmpul sigma. Această unire este spațiul de probăS.

Raţionament

Există câteva motive pentru care această colecție specială de seturi este utilă. În primul rând, vom lua în considerare de ce atât setul, cât și complementul său ar trebui să fie elemente ale sigma-algebrei. Complementul din teoria seturilor este echivalent cu negația. Elementele din complementul A sunt elementele din setul universal care nu sunt elemente ale A. În acest fel, ne asigurăm că dacă un eveniment face parte din spațiul de probă, atunci acel eveniment care nu se produce este considerat de asemenea un eveniment în spațiul de probă..

De asemenea, dorim ca unirea și intersecția unei colecții de seturi să fie în sigma-algebră, deoarece uniunile sunt utile pentru modelarea cuvântului „sau”. Evenimentul care A sau B se produce este reprezentat de unirea A și B. În mod similar, folosim intersecția pentru a reprezenta cuvântul „și”. Evenimentul care A și B are loc este reprezentată de intersecția mulțimilor A și B.

Este imposibil să intersectăm fizic un număr infinit de seturi. Cu toate acestea, ne putem gândi să facem acest lucru ca o limită a proceselor finite. Acesta este motivul pentru care includem și intersecția și unirea a nenumărate subseturi. Pentru multe spații de eșantion infinit, ar trebui să formăm uniuni și intersecții infinite.

Idei conexe

Un concept care este legat de un câmp sigma se numește câmp de subseturi. Un câmp de subseturi nu necesită ca uniunile și intersecțiile nesfințite să fie parte din el. În schimb, trebuie să conținem uniuni și intersecții finite într-un câmp de subseturi.